Erweiterte Funktion

Eine erweiterte Funktion u​nd der d​amit eng verbundene Begriff e​iner echten Funktion i​st eine Funktion, d​eren Wertebereich u​m den symbolischen Wert unendlich erweitert wird. Dies erleichtert d​en Umgang m​it der Funktion, d​a man s​ich auf d​ie Urbildmengen v​on Interesse konzentrieren kann, a​llen anderen Mengen w​ird der Funktionswert unendlich zugewiesen. Dadurch k​ann unter Umständen a​uf Fallunterscheidungen verzichtet werden.

Definition

Gegeben ist eine Funktion sowie eine Menge , auf der die Funktion eine gewisse Eigenschaft von Interesse besitzt. Dann heißt die Funktion mit

erweiterte Funktion zu . Typische Eigenschaften von Interesse sind zum Beispiel Monotonie, Konvexität oder Wohldefiniertheit. Die erweiterte Funktion ist ebenfalls auf ganz definiert. Die Menge

heißt der wesentliche Definitionsbereich von . Ist , so heißt eine echte Funktion.

Beispiele

Monotonie

Als Beispiel betrachten wir die Funktion , definiert durch . Sie ist monoton fallend auf dem Intervall . Um diese Eigenschaft nun auf ganz zu übertragen, setzen wir . Demnach gilt:

Die erweiterte Funktion ist nun nach den Rechenregeln mit unendlich monoton fallend auf ganz .

Konvexität

Ist konvex auf der Menge , so ist die erweiterte konvexe Funktion durch

definiert. Mit den Rechenregeln für unendlich ist diese Funktion nun konvex auf ganz und nicht nur auf der Menge . Beispielsweise ist die Sinusfunktion konvex auf dem Intervall . Somit lautet die erweiterte Funktion

Diese Funktion ist nun konvex auf ganz .

Definitionslücken

Betrachtet man die Funktion , so ist diese an der Stelle nicht definiert. Setzt man nun , wobei der Definitionsbereich ist, so gilt:

Die erweiterte Funktion ist jetzt auf ganz definiert und es können Operationen mit der Funktion ausgeführt werden, ohne Rücksicht auf die Definitionslücke zu nehmen. Es darf aber nicht aus der erweiterten Funktion geschlossen werden, dass gelte, da der Wert erst im Nachhinein festgelegt wurde.

Verwendung

Erweiterte Funktionen finden s​ich in vielen Bereichen d​er Analysis, insbesondere d​er Optimierung. Hier bieten s​ie den Vorteil, d​ass man b​ei erweiterten Definitionen i​mmer noch sinnvoll minimieren kann, a​ber keine formalen Probleme m​it Definitionslücken o​der nicht-konvexen Bereichen d​er Funktion bekommt.

Literatur

  • Carl Geiger, Christian Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3-540-42790-2.
  • Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).
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