Erweiterte Funktion

Eine erweiterte Funktion u​nd der d​amit eng verbundene Begriff e​iner echten Funktion i​st eine Funktion, d​eren Wertebereich u​m den symbolischen Wert unendlich erweitert wird. Dies erleichtert d​en Umgang m​it der Funktion, d​a man s​ich auf d​ie Urbildmengen v​on Interesse konzentrieren kann, a​llen anderen Mengen w​ird der Funktionswert unendlich zugewiesen. Dadurch k​ann unter Umständen a​uf Fallunterscheidungen verzichtet werden.

Definition

Gegeben ist eine Funktion ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {R} }$ sowie eine Menge ${\displaystyle M\subset V}$, auf der die Funktion eine gewisse Eigenschaft von Interesse besitzt. Dann heißt die Funktion ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon V\to \mathbb {R} \cup \{{+\infty }\}}$ mit

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{ falls }}x\in M\\{+\infty }&{\text{ sonst}}\end{cases}}}$

erweiterte Funktion zu ${\displaystyle f}$. Typische Eigenschaften von Interesse sind zum Beispiel Monotonie, Konvexität oder Wohldefiniertheit. Die erweiterte Funktion ist ebenfalls auf ganz ${\displaystyle V}$ definiert. Die Menge

${\displaystyle \operatorname {dom} ({\tilde {f}})=\{x\in V\mid {\tilde {f}}(x)<{+\infty }\}}$

heißt der wesentliche Definitionsbereich von ${\displaystyle {\tilde {f}}}$. Ist ${\displaystyle \operatorname {dom} ({\tilde {f}})\neq \emptyset }$, so heißt ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ eine echte Funktion.

Beispiele

Monotonie

Als Beispiel betrachten wir die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, definiert durch ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$. Sie ist monoton fallend auf dem Intervall ${\displaystyle [0,\infty )}$. Um diese Eigenschaft nun auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zu übertragen, setzen wir ${\displaystyle M=[0,\infty )}$. Demnach gilt:

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\begin{cases}-x^{2}&{\text{ falls }}x\in [0,\infty )\\{+\infty }&{\text{ sonst}}\end{cases}}}$

Die erweiterte Funktion ist nun nach den Rechenregeln mit unendlich monoton fallend auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Konvexität

Ist ${\displaystyle f}$ konvex auf der Menge ${\displaystyle C}$, so ist die erweiterte konvexe Funktion ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon V\to \mathbb {R} \cup \{{+\infty }\}}$ durch

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{ falls }}x\in C\\{+\infty }&{\text{ sonst}}\end{cases}}}$

definiert. Mit den Rechenregeln für unendlich ist diese Funktion nun konvex auf ganz ${\displaystyle V}$ und nicht nur auf der Menge ${\displaystyle C}$. Beispielsweise ist die Sinusfunktion konvex auf dem Intervall ${\displaystyle [-\pi ,0]}$. Somit lautet die erweiterte Funktion

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\begin{cases}\sin(x)&{\text{ falls }}x\in [-\pi ,0]\\{+\infty }&{\text{ sonst.}}\end{cases}}}$

Diese Funktion ist nun konvex auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Definitionslücken

Betrachtet man die Funktion ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x^{2}}}}$, so ist diese an der Stelle ${\displaystyle x=0}$ nicht definiert. Setzt man nun ${\displaystyle M=D_{f}}$, wobei ${\displaystyle D_{f}}$ der Definitionsbereich ist, so gilt:

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\begin{cases}{+\infty }&{\text{ falls }}x=0\\{\frac {1}{x^{2}}}&{\text{ sonst}}\end{cases}}}$

Die erweiterte Funktion ist jetzt auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definiert und es können Operationen mit der Funktion ausgeführt werden, ohne Rücksicht auf die Definitionslücke zu nehmen. Es darf aber nicht aus der erweiterten Funktion geschlossen werden, dass ${\displaystyle {\tfrac {1}{0^{2}}}={+\infty }}$ gelte, da der Wert ${\displaystyle +\infty }$ erst im Nachhinein festgelegt wurde.

Verwendung

Erweiterte Funktionen finden s​ich in vielen Bereichen d​er Analysis, insbesondere d​er Optimierung. Hier bieten s​ie den Vorteil, d​ass man b​ei erweiterten Definitionen i​mmer noch sinnvoll minimieren kann, a​ber keine formalen Probleme m​it Definitionslücken o​der nicht-konvexen Bereichen d​er Funktion bekommt.

Literatur

• Carl Geiger, Christian Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3-540-42790-2.
• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).