Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus

Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus und damit Area-Funktionen.

Schreibweisen:

${\displaystyle y=\operatorname {artanh} (x)=\tanh ^{-1}(x)}$

${\displaystyle y=\operatorname {arcoth} (x)=\coth ^{-1}(x)}$

Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechslung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko-)Tangens zu vermeiden. Es ist ${\displaystyle \operatorname {artanh} (x)=\tanh ^{-1}(x)\not =\tanh(x)^{-1}={\tfrac {1}{\tanh(x)}}}$.

Definitionen

Areatangens hyperbolicus:

${\displaystyle \operatorname {artanh} (x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad |x|<1}$

Areakotangens hyperbolicus:

${\displaystyle \operatorname {arcoth} (x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad |x|>1}$

Geometrische Definitionen

Geometrisch lässt sich der Areatangens hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$ und der Hyperbel ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ überstreicht: Es seien ${\displaystyle (x,-y)=\left(x,-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$ und ${\displaystyle (x,y)=\left(x,+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$ Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungsstrecke die Fläche ${\displaystyle A=\operatorname {artanh} \left({\frac {y}{x}}\right)}$ überstrichen.

Eigenschaften

Graph der Funktion artanh(x)

Graph der Funktion arcoth(x)

	Areatangens hyperbolicus	Areakotangens hyperbolicus
Definitionsbereich	${\displaystyle -1<x<1}$	${\displaystyle -\infty <x<-1}$ ${\displaystyle 1<x<\infty }$
Wertebereich	${\displaystyle -\infty <f(x)<\infty }$	${\displaystyle -\infty <f(x)<\infty$ ;\;f(x)\neq 0}
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	keine
Symmetrien	ungerade Funktion: ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$	ungerade Funktion: ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$
Asymptoten	${\displaystyle x=1\colon \,f(x)\to \infty {\text{ für }}x\to 1}$ ${\displaystyle x=-1\colon \,f(x)\to -\infty {\text{ für }}x\to -1}$	${\displaystyle y=0\colon \,f(x)\to 0{\text{ für }}x\to \pm \infty }$
Nullstellen	${\displaystyle x=0}$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	${\displaystyle x=\pm 1}$	${\displaystyle x=\pm 1}$
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	${\displaystyle x=0}$	keine

Reihenentwicklungen

Taylor- und Laurent-Reihen der beiden Funktionen sind

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\operatorname {artanh} (x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}+{\frac {1}{7}}x^{7}+\ldots &{}\\\operatorname {arcoth} (x)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-(2k-1)}}{2k-1}}&=x^{-1}+{\frac {1}{3}}x^{-3}+{\frac {1}{5}}x^{-5}+{\frac {1}{7}}x^{-7}+\ldots &{}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)\cdot x^{2k+1}}}&={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{3x^{3}}}+{\frac {1}{5x^{5}}}+{\frac {1}{7x^{7}}}+\ldots &{}\end{alignedat}}}$

Ableitungen

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {artanh} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\,;\quad |x|<1}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcoth} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\,;\quad |x|>1}$

Integrale

Die Stammfunktionen lauten:

${\displaystyle \int \operatorname {artanh} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {artanh} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1-x^{2}\right)+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcoth} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcoth} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(x^{2}-1\right)+C}$

Additionstheoreme

${\displaystyle \operatorname {artanh} (x)\pm \operatorname {artanh} (y)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x\pm y}{1\pm xy}}\ \right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcoth} (x)\pm \operatorname {arcoth} (y)=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm xy}{x\pm y}}\ \right)}$

Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen

${\displaystyle \operatorname {artanh} (z)={\frac {1}{i}}\arctan(iz)}$

${\displaystyle \operatorname {arcoth} (z)={\frac {1}{i}}\operatorname {arccot}(-iz)}$

Siehe auch

• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Inverse Hyperbolic Tangent und Inverse Hyperbolic Cotangent auf MathWorld