Kubikzahl

Eine Kubikzahl (von lateinisch cubus, „Würfel“) ist eine Zahl, die entsteht, wenn man eine natürliche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert. Beispielsweise ist ${\displaystyle 27=3\cdot 3\cdot 3}$ eine Kubikzahl. Die ersten Kubikzahlen sind

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … (Folge A000578 in OEIS)

n³ = n⋅n⋅n

Bei einigen Autoren i​st die Null k​eine Kubikzahl, sodass d​ie Zahlenfolge e​rst mit d​er Eins beginnt.

Die Bezeichnung Kubikzahl leitet s​ich von d​er geometrischen Figur d​es Würfels her. Die Anzahl d​er Steine, d​ie man z​um Bauen e​ines Würfels benötigt, entspricht i​mmer einer Kubikzahl. So lässt s​ich beispielsweise e​in Würfel m​it der Seitenlänge 3 m​it Hilfe v​on 27 Steinen legen.

Aufgrund dieser Verwandtschaft m​it einer geometrischen Figur zählen d​ie Kubikzahlen z​u den figurierten Zahlen, z​u denen a​uch die Quadratzahlen u​nd Tetraederzahlen gehören.

Eigenschaften

• Aus den aufeinanderfolgenden Blöcken von einer, zwei, drei, vier, fünf, … ungeraden natürlichen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge lassen sich durch Summation die Kubikzahlen erzeugen:

  ${\displaystyle \underbrace {1} _{1}\ \underbrace {3\ 5} _{8}\ \underbrace {7\ 9\ 11} _{27}\ \underbrace {13\ 15\ 17\ 19} _{64}\ \underbrace {21\ 23\ 25\ 27\ 29} _{125}\ \ldots }$

• Ausgehend von der Folge der zentrierten Sechseckszahlen 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, … erhält man die ${\displaystyle n}$-te Kubikzahl als Summe der ersten ${\displaystyle n}$ Folgenglieder:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}1&=1\\8&=1+7\\27&=1+7+19\\64&=1+7+19+37\\125&=1+7+19+37+61\\\ldots &=\ldots \end{aligned}}}$

• Die Summe der ersten ${\displaystyle n}$ Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der ${\displaystyle n}$-ten Dreieckszahl:

  ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$

• Jede natürliche Zahl kann als Summe von höchstens neun Kubikzahlen dargestellt werden (Lösung des Waringschen Problems für den Exponenten 3). Dass 9 Summanden notwendig sein können zeigt die Zahl 23. Diese hat die Darstellung
      ${\displaystyle 23=8+8+1+1+1+1+1+1+1\,}$,
  aber offensichtlich keine mit weniger kubischen Summanden.
• Jede Kubikzahl lässt sich als Summe der ungeraden Zahlen zwischen zwei aufeinanderfolgenden doppelten Dreieckszahlen sowie als Differenz der Quadrate zweier sukzessiver Dreieckszahlen darstellen:

  ${\displaystyle n^{3}=\sum _{i=1}^{n}(n-1)n+2i-1={\Delta _{n}}^{2}-{\Delta _{n-1}}^{2}}$

• Die Summe zweier beliebiger Kubikzahlen kann selbst nie eine Kubikzahl sein. Anders formuliert heißt dies, dass die Gleichung
      ${\displaystyle a^{3}+b^{3}=c^{3}\,}$
  keine Lösung mit natürlichen Zahlen ${\displaystyle a,b,c}$ besitzt. Dieser Spezialfall der Fermatschen Vermutung wurde 1753 von Leonhard Euler bewiesen. Lässt man mehr als zwei Summanden zu, kann es vorkommen, dass eine Kubikzahl als Summe von Kuben darstellbar ist, wie das folgende Beispiel (sogar mit drei direkt aufeinanderfolgenden Kubikzahlen) zeigt:
      ${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}\,}$.
• Wenn man von der Folge der Kubikzahlen den Modulo 9 nimmt, erhält man die periodische Folge ${\displaystyle 0,1,8,\ldots }$ (Folge A167176 in OEIS). Dies ergibt sich aus ${\displaystyle x^{3}{\bmod {9}}=(x{\bmod {3}})^{3},D=\{x\in \mathbb {Z} \}}$. Hieraus schließt sich ebenfalls, dass eine Zahl, die als Summe von drei Kubikzahlen darstellbar ist, niemals kongruent zu 4 oder 5 mod 9 sein kann.

Summe der Kehrwerte

Die Summe der Kehrwerte aller Kubikzahlen wird Apéry-Konstante genannt. Sie entspricht dem Wert der riemannschen ${\displaystyle \zeta }$-Funktion an der Stelle 3.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=\zeta {(3)}=1{,}2020569\ldots }$

Erzeugende Funktion

Jeder Folge ganzer (oder reeller) Zahlen ${\displaystyle (a_{i})_{i\geq 0}}$ kann man eine formale Potenzreihe zuordnen, die sogenannte erzeugende Funktion ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\geq 0}a_{i}x^{i}}$. In diesem Kontext ist es allerdings üblich, die Folge der Kubikzahlen mit 0 beginnen zu lassen, also die Folge ${\displaystyle 0,1,8,27,64,\ldots }$ zu betrachten. Die erzeugende Funktion der Kubikzahlen ist dann

${\displaystyle \sum _{i\geq 0}i^{3}x^{i}=x+8x^{2}+27x^{3}+64x^{4}+\ldots ={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4}}}}$

Geometrische Generierung

→ Hauptartikel: Konstruktion mit Zirkel und Lineal

In der Kubikzahl ${\displaystyle a^{3}}$ ist die Basis ${\displaystyle a}$ eine reelle Zahl und der Exponent ${\displaystyle 3}$ eine positive ganze Zahl. Aus diesem Grund ist der Potenzwert von ${\displaystyle a^{3}}$ auf einer Zahlengeraden als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Es ist zu unterscheiden, ob die Basis ${\displaystyle a}$ größer oder kleiner als die Zahl ${\displaystyle 1}$ ist. Im Folgenden werden beide Möglichkeiten beschrieben.

Vorgehensweise für Basis > 1

1. Ziehe auf der Zahlengeraden einen Kreisbogen um ${\displaystyle A,0}$ mit der Basis ${\displaystyle a={\overline {AB}}}$ als Radius, bis er die Zahlengerade in ${\displaystyle B'}$ schneidet.
2. Bestimme den Abstand mit der Länge ${\displaystyle =1}$ zum Punkt ${\displaystyle A,0}$ und errichte eine Senkrechte zur Zahlengeraden im Punkt ${\displaystyle 1}$, bis sie den Kreisbogen in ${\displaystyle B}$ schneidet.
3. Verlängere die Basis ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit einer Halbgeraden und errichte eine Senkrechte zur Zahlengeraden im Punkt ${\displaystyle B'}$, bis sie die Halbgerade in ${\displaystyle C}$ schneidet.
4. Abschließend schneidet eine Senkrechte zur Strecke ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ im Punkt ${\displaystyle C}$ die Zahlengerade in der Kubikzahl ${\displaystyle {\overline {AB}}^{3}.}$

• 
  Konstruktion der Kubikzahl ${\displaystyle {\overline {AB}}^{3}}$ mit Basis ${\displaystyle {\overline {AB}}>1}$
• 
  Konstruktion der Kubikzahl ${\displaystyle {\overline {AB}}^{3}}$ mit Basis ${\displaystyle {\overline {AB}}<1}$

Vorgehensweise für Basis < 1

1. Bestimme auf der Zahlengeraden die Basis ${\displaystyle a}$ als Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$.
2. Ziehe auf der Zahlengeraden einen Halbkreis um ${\displaystyle B}$ mit Radius ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, er schneidet die Zahlengerade in ${\displaystyle C}$.
3. Bestimme auf der Zahlengeraden ab ${\displaystyle B}$ die Strecke ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ mit der Länge ${\displaystyle =0,5}$ und ziehe einen Kreisbogen um ${\displaystyle D}$ mit Radius ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ bis er den Halbkreis in ${\displaystyle E}$ schneidet.
4. Fälle das Lot von ${\displaystyle E}$ auf ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ mit Fußpunkt ${\displaystyle F}$ und verbinde den Punkt ${\displaystyle B}$ mit ${\displaystyle E}$.
5. Fälle das Lot von ${\displaystyle F}$ auf ${\displaystyle {\overline {BE}}}$ mit Fußpunkt ${\displaystyle G}$.
6. Der abschließende Kreisbogen um ${\displaystyle B}$ mit Radius ${\displaystyle {\overline {BG}}}$ bis auf die Zahlengerade liefert die Kubikzahl ${\displaystyle {\overline {AB}}^{3}}$ .

Tastatur

Auf d​er deutschen PC-Tastatur l​iegt das ³-Zeichen a​ls dritte Belegung a​uf der 3-Taste u​nd kann m​it Hilfe d​er Alt-Gr-Taste eingegeben werden. Oft k​ann man a​uch statt Alt Gr d​ie beiden Tasten Strg u​nd Alt verwenden. Bei e​iner Apple-Tastatur hingegen g​ibt es k​eine definierte Tastenkombination für d​as ³-Zeichen. Das ³-Zeichen i​st mit d​er Codenummer 179 (hexadezimal B3) Bestandteil d​er Zeichenkodierung ISO 8859-1 (bzw. ISO 8859-15) u​nd damit a​uch des Unicodeblock Lateinisch-1, Ergänzung.

Siehe auch

• Zentrierte Kubikzahl
• Hardy-Ramanujan-Zahl
• Quadratzahl

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Cubic Number. In: MathWorld (englisch).