Heun-Verfahren

Das Heun-Verfahren, benannt nach Karl Heun, ist ein einfaches Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertaufgaben. Es ist ein Einschrittverfahren und ist ein Beispiel für eine zweistufiges explizites Runge-Kutta-Verfahren.[1]

Im Gegensatz z​um expliziten Euler-Verfahren erfolgt d​ie Näherung über e​in Trapez u​nd nicht über e​in Rechteck.

Verfahren

Zur numerischen Lösung d​es Anfangswertproblems[1]

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad \quad y(t_{0})=y_{0}}$

für eine gewöhnliche Differentialgleichung mit dem Verfahren von Heun wähle man eine Diskretisierungsschrittweite ${\displaystyle h>0}$, betrachte die diskreten Zeitpunkte

${\displaystyle t_{k+1}=t_{0}+kh,\quad \quad k=0,1,2,\dots }$

und berechne zunächst analog z​um expliziten Euler-Verfahren

${\displaystyle y_{k+1}^{[P]}=y_{k}+hf(t_{k},y_{k})\quad ,\quad k=0,1,2,\dots }$

und d​ann

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+{\frac {1}{2}}h(f(t_{k},y_{k})+f(t_{k+1},y_{k+1}^{[P]}))\quad ,\quad k=0,1,2,\dots }$

was s​ich umformen lässt zu

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {1}{2}}y_{k}+{\frac {1}{2}}(y_{k+1}^{[P]}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[P]}))\quad ,\quad k=0,1,2,\dots }$

Die ${\displaystyle y_{k}}$ sind die Näherungswerte der tatsächlichen Lösungsfunktion ${\displaystyle y(t)}$ zu den Zeitpunkten ${\displaystyle t_{k}}$.

Mit ${\displaystyle h}$ wird die Schrittweite bezeichnet. Verkleinert man diese, so wird der Verfahrensfehler kleiner (sprich: die ${\displaystyle y_{k}}$ liegen näher am tatsächlichen Funktionswert ${\displaystyle y(t_{k})}$). Der globale Fehler des Verfahrens von Heun geht mit ${\displaystyle h^{2}}$ gegen null; man spricht auch von Konvergenzordnung 2.

Ähnliche Einschrittverfahren

• Explizites Euler-Verfahren (Eulersches Polygonzugverfahren)
• Implizites Euler-Verfahren
• Runge-Kutta-Verfahren
• Klassisches Runge-Kutta-Verfahren

Einzelnachweise

1. Hans Rudolf Schwarz & Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 6. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, 2006, ISBN 978-3-8351-9064-1, S. 354.