Lösung (Mathematik)

Als Lösung bezeichnet man in der Mathematik ein mathematisches Objekt, zum Beispiel eine Zahl oder eine Funktion, das den Vorgaben eines wohldefinierten mathematischen Problems genügt. Betrachtet man eine Aufgabe als Menge formalisierter Aussagen, zum Beispiel von Gleichungen oder Ungleichungen, die freie Variablen enthalten, so ist eine Lösung eine Belegung der Variablen durch Elemente aus einem wohldefinierten Definitionsbereich, die alle Aussagen zugleich erfüllt: Ersetzt man die freien Vorkommnisse der Variablen durch die in der Belegung zugewiesenen Werte, so müssen alle diese Aussagen zugleich wahr sein. Die Menge aller solcher Belegungen ist die Lösungsmenge der Aufgabe.

Allgemeiner spricht man nicht nur bei Gleichungen, sondern auch bei beliebigen mathematischen Problemen von der "Lösung" des Problems. Eine solche Lösung kann also beispielsweise eine Konstruktion oder ein Beweis sein.

Andererseits wird in der metamathematischen Literatur häufig ein Antagonismus zwischen "Problemlösern" (z. B. Paul Erdős) und "Theorieerbauern" (z. B. Alexander Grothendieck) thematisiert.

Die systematische Untersuchung von Problemlösestrategien bezeichnet man als Heuristik, insbesondere der ungarische Mathematiker George Pólya hat auf diesem Gebiet umfangreiche Beiträge geleistet. Ein Standardwerk ist sein Buch Schule des Denkens.

Spezielle Lösungen

Je nach Art des Problems haben Lösungen oft spezielle Namen:

Nullstelle: Lösung einer Gleichung der Form $f(x)=0$ . Im Fall von Polynomen spricht man auch von "Wurzeln" der Gleichung.
Fixpunkt: Lösung einer Gleichung der Form $f(x)=x$ .
optimale Lösung, insbesondere als extremale Lösung: Lösung einer Gleichung unter Nebenbedingungen der Form $f(x)=\max\{f(t)\}$ oder $f(x)=\min\{f(t)\}$ .

Beispiele

Die Gleichung $x^{3}-1=0$ hat in den reellen Zahlen die Lösung $x=1$ , in den komplexen Zahlen die Lösungsmenge $\left\{1,-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right\}$ , im endlichen Körper $GF(2)$ die Lösung $x=1$ .
Die Differentialgleichung $f'(x)=f(x)$ hat (in den differenzierbaren Funktionen $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ) die Lösungsmenge $\left\{ce^{x}\colon c\in \mathbb {R} \right\}$ .
Das Optimierungsproblem ${\displaystyle \left\{x+y=1,f(x,y)=xy=\max$ hat die Lösung $f(x,y)={\frac {1}{4}}$ für $x=y={\frac {1}{2}}$ .

Zitate

Ein bekanntes sprachliches Bild ist der auf John von Neumann zurückgehende Vergleich von Problemlösern und Theorieerbauern mit Fröschen und Vögeln. Dabei werden einige Mathematiker als „Vögel“ bezeichnet, die aus der Luft den Überblick haben:

“Some mathematicians are birds, others are frogs. Birds fly high in the air and survey broad vistas of mathematics out to the far horizon. They delight in concepts that unify our thinking and bring together diverse problems from different parts of the landscape. Frogs live in the mud below and see only the flowers that grow nearby. They delight in the details of particular objects, and they solve problems one at a time. (…)”

– Freeman Dyson: Birds and Frogs[1]

„Die Vermieterin eilte in den Hof und stellte die Mausefalle auf den Boden (es war eine altmodische Falle, ein Käfig mit einer Falltür), und rief die Tochter, sie solle die Katze holen. Die Maus in der Falle schien das Ziel dieser Vorgänge zu spüren, sie rannte im Käfig umher und warf sich mit Gewalt gegen die Gitterstäbe, einmal auf dieser Seite und dann auf jener, und im letzten Moment gelang es ihr, sich durch die Stäbe zu quetschen und im Feld des Nachbarn zu verschwinden. Es musste an dieser Stelle einen etwas größeren Abstand zwischen den Gitterstäben gegeben haben... Im Stillen gratulierte ich der Maus. Sie hatte ein bedeutendes Problem gelöst und ein bedeutendes Beispiel gegeben.

Dies ist der richtige Weg, Probleme zu lösen. Wir müssen wieder und wieder versuchen, bis wir schließlich die kleinen Unterschiede in den Öffnungen erkennen von denen alles abhängt. Wir müssen unsere Versuche variieren, um alle Seiten des Problems zu erkunden. Tatsächlich können wir nicht im Vorhinein wissen, auf welcher Seite die einzige mögliche Öffnung besteht, durch die wir entwischen können.

Die grundlegende Methode von Mäusen und Menschen ist die gleiche: Es versuchen, es wieder versuchen, und die Versuche variieren, so dass wir die wenigen günstigen Möglichkeiten nicht verpassen.

Es stimmt, dass Menschen normalerweise bessere Problemlöser sind als Mäuse. Ein Mensch muss sich nicht körperlich gegen ein Hindernis werfen, er kann dies geistig tun; ein Mensch kann seine Versuche besser variieren, und er kann aus seinen Fehlversuchen mehr lernen.“

– George Pólya: Die Maus

Siehe auch

Literatur

Heinrich Tietze: Gelöste und ungelöste Probleme der Mathematik aus alter und neuer Zeit. 14 Vorträge für Laien und für Freunde der Mathematik, 2 Bände, Biederstein Verlag, München 1949
George Pólya: Vom Lösen mathematischer Aufgaben. [On solving mathematical problems.] Einsicht und Entdeckung, Lernen und Lehren. [Insight and discovery, learning and teaching] Zweite Auflage. Übersetzt aus dem Englischen von Lulu Bechtolsheim. Wissenschaft und Kultur [Science and Culture], 20. Birkhäuser Verlag, Basel-Boston, Mass., 1979, ISBN 3-7643-1101-0 (Band I), ISBN 3-7643-0298-4 (Band II).
George Pólya: Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Probleme („How to solve it“). 4. Aufl. Francke Verlag, Tübingen 1995, ISBN 3-7720-0608-6 (Sammlung Dalp).

Einzelnachweise

Birds and Frogs. Notices Amer. Math. Soc. 56 (2009), no. 2, 212–223.

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[1] Birds and Frogs. Notices Amer. Math. Soc. 56 (2009), no. 2, 212–223.