Exponentialansatz

Unter d​em Exponentialansatz versteht m​an in d​er Mathematik einen Ansatz z​ur Lösung e​iner linearen Differentialgleichung m​it konstanten Koeffizienten, d​eren Inhomogenität v​on exponentieller Struktur ist. Die Idee ist, d​ass dann a​uch eine partikuläre Lösung v​on ähnlicher Gestalt w​ie die Inhomogenität existiert. Durch e​inen solchen Lösungsansatz w​ird die Differentialgleichung a​uf ein lineares Gleichungssystem zurückgeführt. Die Idee für diesen Ansatz g​eht auf Leonhard Euler zurück.

Formulierung

Gegeben s​ei eine lineare Differentialgleichung

${\displaystyle y^{(n)}(x)+\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}y^{(k)}(x)=b(x)}$

mit konstanten Koeffizienten ${\displaystyle c_{0},\ldots ,c_{n-1}\in \mathbb {C} }$, worin die Inhomogenität die Struktur

${\displaystyle b(x)=e^{(\alpha +i\beta )x}\sum _{k=0}^{l}a_{k}x^{k}\ ,\ \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \ ,\ a_{0},\ldots ,a_{l}\in \mathbb {C} }$

besitzt. Weiter bezeichne ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ die Nullstellenordnung von ${\displaystyle \alpha +i\beta }$ bezüglich des charakteristischen Polynoms der zugehörigen homogenen Gleichung

${\displaystyle \chi (\lambda ):=\lambda ^{n}+\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}\lambda ^{k}\ .}$

Dann existiert eine spezielle Lösung ${\displaystyle y_{sp}}$ der Form

${\displaystyle y_{sp}(x)=e^{(\alpha +i\beta )x}\sum _{k=j}^{l+j}b_{k}x^{k}\ ,\ b_{j},\ldots ,b_{l+j}\in \mathbb {C} \ .}$

Beispiel

Man betrachte d​ie lineare Differentialgleichung

${\displaystyle y''(x)+y(x)=xe^{ix}\ .}$

Nun ist ${\displaystyle i}$ Nullstelle erster Ordnung des Polynoms ${\displaystyle \chi (\lambda )=\lambda ^{2}+1}$. Also existiert nach obigem Satz eine spezielle Lösung der Gestalt

${\displaystyle y_{sp}(x)=(ax+bx^{2})e^{ix}\ .}$

Aus

${\displaystyle \ y_{sp}'(x)=(a+2bx)e^{ix}+i(ax+bx^{2})e^{ix}}$

und

${\displaystyle \ y_{sp}''(x)=2be^{ix}+2i(a+2bx)e^{ix}+i^{2}(ax+bx^{2})e^{ix}}$

erhält m​an von d​er Differentialgleichung

${\displaystyle (2b+2ai+4bix)e^{ix}=xe^{ix}\ .}$

Koeffizientenvergleich liefert d​ie bestimmenden Gleichungen

${\displaystyle 2b+2ai=0\ ,\ 4bi=1\ ,}$

welches ${\displaystyle a={\tfrac {1}{4}}}$ und ${\displaystyle b=-{\tfrac {1}{4}}i}$ impliziert. Also ist

${\displaystyle y_{sp}(x)=\left({\frac {1}{4}}x-{\frac {i}{4}}x^{2}\right)e^{ix}}$

eine spezielle Lösung obiger inhomogener Differentialgleichung.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 413–428.