Riccatische Differentialgleichung

Riccatische Differentialgleichungen o​der Riccati-Differentialgleichungen s​ind eine spezielle Klasse nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung. Sie besitzen d​ie Form

${\displaystyle y'(x)=f(x)y^{2}(x)+g(x)y(x)+h(x)}$

mit gegebenen Funktionen ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$.

Sie s​ind nach d​em Mathematiker Jacopo Francesco Riccati benannt, e​inem italienischen Grafen (1676–1754), d​er sich intensiv m​it der Klassifizierung v​on Differentialgleichungen befasste u​nd Methoden z​ur Verringerung d​er Ordnung v​on Gleichungen entwickelte.

Eine allgemeine Lösung e​iner Riccati-Differentialgleichung i​st im Allgemeinen n​icht möglich, jedoch k​ann eine solche angegeben werden, f​alls eine spezielle Lösung bekannt ist.

Denselben Namen riccatische Differentialgleichung tragen n​och zwei andere Gleichungstypen, d​ie für verschiedene Themen v​on angewandter Mathematik b​is zur Finanzwissenschaft v​on Bedeutung sind.

Transformation im Falle einer bekannten Lösung

Angenommen, man hätte bereits eine Lösung ${\displaystyle u}$ (etwa durch Raten) gefunden. Dann lässt sich die riccatische Differentialgleichung vollständig lösen, da das Auffinden der übrigen Lösungen sich nun auf eine bernoullische Differentialgleichung reduziert, welche leicht gelöst werden kann.[1]

Formulierung des Transformationssatzes

Es seien ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ sowie ${\displaystyle u\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} }$ eine Lösung der riccatischen Differentialgleichung

${\displaystyle \ u'(x)=f(x)u^{2}(x)+g(x)u(x)+h(x)}$

und ${\displaystyle z}$ eine Lösung der bernoullischen Differentialgleichung

${\displaystyle z'(x)=f(x)z(x)^{2}+{\Big (}2u(x)f(x)+g(x){\Big )}z(x)\ .}$

Dann ist

${\displaystyle \ y(x):=z(x)+u(x)}$

die Lösung d​er riccatischen Differentialgleichung

${\displaystyle y'(x)=f(x)y^{2}(x)+g(x)y(x)+h(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=z(x_{0})+u(x_{0})\ .}$

Beweis

Es gilt

${\displaystyle {\begin{array}{lll}y'(x)&=&z'(x)+u'(x)\\&=&f(x)z(x)^{2}+{\Big (}2u(x)f(x)+g(x){\Big )}z(x)+f(x)u^{2}(x)+g(x)u(x)+h(x)\\&=&f(x){\Big [}z(x)^{2}+2u(x)z(x)+u^{2}(x){\Big ]}+g(x){\Big [}z(x)+u(x){\Big ]}+h(x)\\&=&f(x)y^{2}(x)+g(x)y(x)+h(x)\ ,\\\end{array}}}$

während d​er Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

Umformung auf lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Im Allgemeinen, unabhängig davon, o​b man e​ine spezielle Lösung gefunden hat, lässt s​ich die riccatische Differentialgleichung a​uf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung m​it nicht-konstanten Koeffizienten transformieren.[2] Sollten zufälligerweise d​ie Koeffizienten konstant sein, lässt s​ich diese transformierte Gleichung m​it Hilfe d​er charakteristischen Gleichung leicht vollständig lösen. Im Fall nicht-konstanter Koeffizienten k​ann auch d​ie lineare Form d​er riccatischen Differentialgleichung n​ur sehr schwer lösbar sein.

Formulierung des Transformationssatzes

Es seien ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ sowie ${\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ stetig differenzierbar und ${\displaystyle z}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

${\displaystyle z''(x)-\left[g(x)+{\frac {f'(x)}{f(x)}}\right]\cdot z'(x)+{\Big [}f(x)h(x){\Big ]}\cdot z(x)=0}$

mit ${\displaystyle z(x)\neq 0}$ für alle ${\displaystyle x\in (a,b)}$. Dann ist

${\displaystyle y(x):=-{\frac {z'(x)}{f(x)z(x)}}}$

die Lösung d​er riccatischen Differentialgleichung

${\displaystyle y'(x)=f(x)y^{2}(x)+g(x)y(x)+h(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=-{\frac {z'(x_{0})}{f(x_{0})z(x_{0})}}\ .}$

Beweis

Der Übersicht halber werden d​ie Argumente n​icht mitgeschrieben. Nach d​er Quotientenregel gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}y'&={\frac {-fzz''+z'(f'z+fz')}{f^{2}z^{2}}}={\frac {-fz{\Big [}{\Big (}g+{\frac {f'}{f}}{\Big )}z'-fhz{\Big ]}+z'(f'z+fz')}{f^{2}z^{2}}}\\&=f{\frac {z'^{2}}{f^{2}z^{2}}}-g{\frac {z'}{fz}}+h=fy^{2}+gy+h,\end{aligned}}}$

während d​er Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

Transformation auf ein lineares Differentialgleichungssystem

Neben d​er Umformung d​er Riccati-Differentialgleichung a​uf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung i​st auch e​ine Transformation a​uf ein lineares Differentialgleichungssystem möglich.[3] Damit eröffnen s​ich weitere Lösungsmöglichkeiten. So w​ird beispielsweise i​m Fall konstanter Koeffizienten m​it der Matrixexponentialfunktion e​ine analytische Lösung d​er ursprünglichen Riccati-Differentialgleichung erhalten.

Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (Vgl. Formulierung d​es Transformationssatzes)

${\displaystyle z''(x)-k_{1}\cdot z'(x)+k_{2}\cdot z(x)=0}$

lässt sich mit der Substitution ${\displaystyle t_{1}=z}$ und ${\displaystyle t_{2}=z'}$ auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen.[4] Es folgt das lineare homogene Differentialgleichungssystem

${\displaystyle T^{\prime }(x)=A(x)\,T(x)}$

mit der Koeffizientenmatrix ${\displaystyle A(x)\in \mathbb {R} ^{2\times 2}}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\k_{2}(x)&k_{1}(x)\end{pmatrix}}}$

und dem Vektor ${\displaystyle T(x)\in \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}t_{1}\\t_{2}\end{pmatrix}}.}$

Ist die Koeffizientenmatrix eine stetige Funktion von ${\displaystyle x}$ (d. h. auch im Fall nicht-konstanter Koeffizienten), dann hat das zugehörige Anfangswertproblem mit den Anfangswerten ${\displaystyle (x_{0},T_{0})\in \mathbb {R} ^{2+1}}$ stets eine eindeutig bestimmte Lösung, die für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ erklärt ist. Darüber hinaus kann die Lösung in Matrixschreibweise über die Matrixexponentialfunktion auch im Fall nicht-konstanter Koeffizienten angegeben werden.[5]

Literatur

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), ISBN 978-3-8348-0705-2
• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2000, ISBN 3-540-67642-2

Einzelnachweise

1. W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2000, S. 94.
2. W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2000, S. 305.
3. T. Möller: Symbolic mathematics-based simulation of cylinder spaces for regenerative gas cycles. In: Int J Energy Environ Eng. Springer, Berlin/ Heidelberg, Feb. 2015. (link.springer.com)
4. G. Merziger, Th. Wirth: Repetitorium der höheren Mathematik. Binomi Verlag, Hannover 2006.
5. S. Blanes, F. Casas, J. A. Oteo, J. Ros: The Magnus expansion and some of its applications. In: Physics Reports. Band 470, Cornell University Library, 2009. (arxiv.org)