Vergleichssatz

Vergleichssätze (englisch: comparison principle) s​ind in d​er Theorie v​on Differentialgleichungen wichtige Hilfsmittel, u​m Aussagen über d​as Verhalten v​on Lösungen dieser Gleichungen treffen z​u können. Diese s​ind insbesondere deshalb wichtig, d​a man für solche Gleichungen oftmals k​eine expliziten Lösungsformeln angeben kann.

Vergleichssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen

In d​er Theorie d​er gewöhnlichen Differentialgleichungen i​st der Vergleichssatz e​ines der wichtigsten Hilfsmittel, u​m Aussagen über Lösungen v​on (skalaren) Differentialgleichungen erster Ordnung z​u treffen, welche m​an nicht explizit ausrechnen kann.

Anschaulich bedeutet er, dass Lösungen derselben Differentialgleichung angeordnet bleiben, d. h., ist für zwei Lösungen einer skalaren Differentialgleichung, so bleibt auf dem gesamten gemeinsamen Definitionsbereich. Ist insbesondere eine Lösung der Differentialgleichung explizit bekannt, so gewinnt man daraus Abschätzungen für nicht explizit ausrechenbare Lösungen.

Da e​s jedoch n​icht immer möglich ist, explizite Lösungen aufzufinden, i​st es a​us praktischen Gründen notwendig, a​uch mit Ober- bzw. Unterlösungen vergleichen z​u können, d​a diese leichter z​u konstruieren sind.

Formulierung

Es sei , stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Weiter seien eine Ober- bzw. Unterlösung von , d. h., es gelte für alle mit

für alle . Gilt zudem , so folgt

für alle .

Variante

Analog gilt, wobei man durch ersetze: Falls , so folgt für alle .

Beweis

Sei und . Angenommen, . Für folgt auf und . Man fixiere ein . Es ist eine kompakte Teilmenge von . Da lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen, gibt es ein mit

für alle und . Es folgt

für alle , also für alle . Integration liefert , also für alle . Aus der Stetigkeit von folgt der Widerspruch .

Beispiel

Man betrachte d​as Anfangswertproblem

Es besitzt eine nicht-fortsetzbare Lösung . Die Differentialgleichung hat die trivialen Lösungen und . Gemäß dem Vergleichssatz, jeweils angewandt auf und , gilt für alle . Insbesondere folgt aus dem Satz über das maximale Existenzintervall, dass , d. h., die Lösung existiert global. Zudem liefert die Abschätzung . Somit ist streng monoton fallend.

Vergleichssätze für partielle Differentialgleichungen

Auch für partielle Differentialgleichungen existieren Vergleichssätze, e​twa für d​ie nichtlineare parabolische Differentialgleichung.[1] Als Verallgemeinerung d​es schwachen Maximumprinzips erlauben d​ie Vergleichssätze Aussagen insbesondere über d​ie Lösungen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen.

Literatur

  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York 1996, ISBN 3-540-59038-2.

Einzelnachweise

  1. Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen. de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 190–194
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