Vergleichssatz

Vergleichssätze (englisch: comparison principle) s​ind in d​er Theorie v​on Differentialgleichungen wichtige Hilfsmittel, u​m Aussagen über d​as Verhalten v​on Lösungen dieser Gleichungen treffen z​u können. Diese s​ind insbesondere deshalb wichtig, d​a man für solche Gleichungen oftmals k​eine expliziten Lösungsformeln angeben kann.

Vergleichssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen

In d​er Theorie d​er gewöhnlichen Differentialgleichungen i​st der Vergleichssatz e​ines der wichtigsten Hilfsmittel, u​m Aussagen über Lösungen v​on (skalaren) Differentialgleichungen erster Ordnung z​u treffen, welche m​an nicht explizit ausrechnen kann.

Anschaulich bedeutet er, dass Lösungen derselben Differentialgleichung angeordnet bleiben, d. h., ist ${\displaystyle u(a)<v(a)}$ für zwei Lösungen einer skalaren Differentialgleichung, so bleibt ${\displaystyle u(x)<v(x)}$ auf dem gesamten gemeinsamen Definitionsbereich. Ist insbesondere eine Lösung der Differentialgleichung explizit bekannt, so gewinnt man daraus Abschätzungen für nicht explizit ausrechenbare Lösungen.

Da e​s jedoch n​icht immer möglich ist, explizite Lösungen aufzufinden, i​st es a​us praktischen Gründen notwendig, a​uch mit Ober- bzw. Unterlösungen vergleichen z​u können, d​a diese leichter z​u konstruieren sind.

Formulierung

Es sei ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} }$, ${\displaystyle F:(a,b]\times D\rightarrow \mathbb {R} }$ stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Weiter seien ${\displaystyle y_{+},y_{-}\in C([a,b])\cap C^{1}((a,b])}$ eine Ober- bzw. Unterlösung von ${\displaystyle \ y'=F(x,y)}$, d. h., es gelte ${\displaystyle y_{+}(x),y_{-}(x)\in D}$ für alle ${\displaystyle x\in (a,b]}$ mit

${\displaystyle y_{+}'(x)\geq F(x,y_{+}(x))\ {\textrm {und}}\ y_{-}'(x)\leq F(x,y_{-}(x))}$

für alle ${\displaystyle x\in (a,b]}$. Gilt zudem ${\displaystyle \ y_{+}(a)>y_{-}(a)}$, so folgt

${\displaystyle \ y_{+}(x)>y_{-}(x)}$

für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Variante

Analog gilt, wobei man ${\displaystyle (a,b]}$ durch ${\displaystyle [a,b)}$ ersetze: Falls ${\displaystyle \ y_{+}(b)<y_{-}(b)}$, so folgt ${\displaystyle \ y_{+}(x)<y_{-}(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Beweis

Sei ${\displaystyle \ d(x):=y_{+}(x)-y_{-}(x)}$ und ${\displaystyle A:=\{x\in [a,b]\ |\ d(x)\leq 0\}}$. Angenommen, ${\displaystyle A\neq \emptyset }$. Für ${\displaystyle x_{0}:=\min A>a}$ folgt ${\displaystyle d>0}$ auf ${\displaystyle [a,x_{0})}$ und ${\displaystyle d(x_{0})=0}$. Man fixiere ein ${\displaystyle s_{0}\in (a,x_{0})}$. Es ist ${\displaystyle K:=\{y_{+}(x)\ |\ x\in [s_{0},x_{0}]\}\cup \{y_{-}(x)\ |\ x\in [s_{0},x_{0}]\}}$ eine kompakte Teilmenge von ${\displaystyle D}$. Da ${\displaystyle F}$ lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen, gibt es ein ${\displaystyle L\geq 0}$ mit

${\displaystyle \|F(x,y)-F(x,z)\|\leq L\|y-z\|}$

für alle ${\displaystyle x\in [s_{0},x_{0}]}$ und ${\displaystyle y,z\in K}$. Es folgt

${\displaystyle d'(x)=y_{+}'(x)-y_{-}'(x)\geq F(x,y_{+}(x))-F(x,y_{-}(x))\geq -L\|y_{+}(x)-y_{-}(x)\|=-L\cdot d(x)}$

für alle ${\displaystyle x\in [s_{0},x_{0}]}$, also ${\displaystyle {\frac {d'(x)}{d(x)}}\geq -L}$ für alle ${\displaystyle x\in [s_{0},x_{0})}$. Integration liefert ${\displaystyle \ln d(x)-\ln d(s_{0})\geq -L(x-s_{0})}$, also ${\displaystyle d(x)\geq d(s_{0})e^{-L(x-s_{0})}}$ für alle ${\displaystyle x\in (s_{0},x_{0})}$. Aus der Stetigkeit von ${\displaystyle d}$ folgt der Widerspruch ${\displaystyle d(x_{0})\geq d(s_{0})e^{-L(x_{0}-s_{0})}>0}$.

${\displaystyle \Box }$

Beispiel

Man betrachte d​as Anfangswertproblem

${\displaystyle y'={\frac {y^{6}-64}{1+x^{2}y^{2}}}\ ,\ y(0)=1\ .}$

Es besitzt eine nicht-fortsetzbare Lösung ${\displaystyle y:D\rightarrow \mathbb {R} }$. Die Differentialgleichung hat die trivialen Lösungen ${\displaystyle y_{1}(x):\equiv 2}$ und ${\displaystyle y_{2}(x):\equiv -2}$. Gemäß dem Vergleichssatz, jeweils angewandt auf ${\displaystyle \ y,y_{1}}$ und ${\displaystyle \ y,y_{2}}$, gilt ${\displaystyle \ -2<y(x)<2}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$. Insbesondere folgt aus dem Satz über das maximale Existenzintervall, dass ${\displaystyle D=\mathbb {R} }$, d. h., die Lösung existiert global. Zudem liefert die Abschätzung ${\displaystyle y'<0}$. Somit ist ${\displaystyle y}$ streng monoton fallend.

${\displaystyle \Box }$

Vergleichssätze für partielle Differentialgleichungen

Auch für partielle Differentialgleichungen existieren Vergleichssätze, e​twa für d​ie nichtlineare parabolische Differentialgleichung.[1] Als Verallgemeinerung d​es schwachen Maximumprinzips erlauben d​ie Vergleichssätze Aussagen insbesondere über d​ie Lösungen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen.

Literatur

• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York 1996, ISBN 3-540-59038-2.

Einzelnachweise

1. Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen. de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 190–194