Satz von Peano

Der Satz v​on Peano i​st ein Satz a​us der Theorie d​er gewöhnlichen Differentialgleichungen. Er g​ibt eine einfache Voraussetzung an, u​nter der d​as Anfangswertproblem (mindestens) e​ine lokale Lösung besitzt. Dieser Satz w​urde 1886 v​om Mathematiker Giuseppe Peano m​it einem fehlerhaften Beweis veröffentlicht. 1890 lieferte e​r einen korrekten Beweis nach.

Gegenüber d​em Existenz- u​nd Eindeutigkeitssatz v​on Picard-Lindelöf h​at der Existenzsatz v​on Peano d​en Vorteil, d​ass er schwächere Voraussetzungen besitzt. Dafür m​acht er k​eine Aussage bezüglich d​er Eindeutigkeit d​er Lösung.

Besitzt m​an erst einmal e​ine (lokale) Lösung, s​o kann m​an aus dieser i​n einem zweiten Schritt a​uf die Existenz e​iner nicht-fortsetzbaren Lösung schließen. In dieser Hinsicht i​st der Satz v​on Peano e​in erster Schritt für d​ie Existenztheorie e​iner Differentialgleichung.

Formulierung

Sei ${\displaystyle F\colon G\to \mathbb {R} ^{n}}$ eine stetige Funktion. Ihr Definitionsbereich ${\displaystyle G}$ sei eine ${\displaystyle [a,b]\times {\overline {B}}\left(y_{0},R\right)}$ umfassende Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$. Dabei bezeichne ${\displaystyle {\overline {B}}\left(y_{0},R\right)}$ die abgeschlossene Kugel um ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit Radius ${\displaystyle R>0}$, d. h.

${\displaystyle {\overline {B}}\left(y_{0},R\right):=\{z\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|z-y_{0}\|\leq R\}}$.

Dann gibt es zu jedem Anfangswertproblem ${\displaystyle \ y(a)=y_{0}}$ der Differentialgleichung ${\displaystyle y'(t)=F(t,y(t))}$ wenigstens eine lokale Lösung. Genauer heißt das, dass es ein ${\displaystyle \alpha >0}$ gibt und eine stetig differenzierbare Funktion ${\displaystyle y\colon [a,a+\alpha ]\to \mathbb {R} ^{n}}$, die zwei Bedingungen erfüllt:

• Für alle ${\displaystyle t\in [a,a+\alpha ]}$ liegt der Punkt ${\displaystyle (t,y(t))}$ in ${\displaystyle G}$.
• Für alle ${\displaystyle t\in [a,a+\alpha ]}$ ist die Differentialgleichung ${\displaystyle y'(t)=F(t,y(t))}$ erfüllt.

Ein solches ${\displaystyle \alpha >0}$ kann man genau angeben: Auf der abgeschlossenen und beschränkten Menge ${\displaystyle [a,b]\times {\overline {B}}\left(y_{0},R\right)}$ besitzt die stetige Funktion ${\displaystyle \|F\|}$ einen maximalen Wert, setze

${\displaystyle M:=\max\{\|F(x,y)\|\mid (x,y)\in [a,b]\times {\overline {B}}\left(y_{0},R\right)\}}$.

Diese Zahl i​st eine Schranke für d​ie Steigung e​iner möglichen Lösung. Man wähle nun

${\displaystyle \alpha$ :=\min \left\{b-a,{\frac {R}{M}}\right\}>0\ .}

Dann existiert (mindestens) e​ine Lösung d​es Anfangswertproblems

${\displaystyle y'=F(x,y)\ ,\ y(a)=y_{0}}$

auf dem Intervall ${\displaystyle [a,a+\alpha ]}$ mit Werten in ${\displaystyle {\overline {B}}\left(y_{0},R\right)}$.

Bemerkung: Analog können komplexe Differentialgleichungen betrachtet werden, indem man Real- und Imaginärteil einer komplexen Komponente als eigenständige reelle Komponente betrachtet, d. h., indem ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, die komplexe Multiplikation vergessend, mit dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ identifiziert wird.

Für reelle Banachräume

${\displaystyle X}$ sei ein reeller Banachraum und ${\displaystyle f\colon [0,T]\times X\to X}$ stetig und kompakt. Zu jedem Anfangswert ${\displaystyle x_{0}\in X}$ existieren dann ein ${\displaystyle \tau >0}$ und eine Lösung ${\displaystyle x(\cdot )\in C^{1}([0,\tau ],X)}$ der gewöhnlichen Differentialgleichung

${\displaystyle x'(\cdot )=f(\cdot ,x(\cdot ))}$

mit ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$.

Bemerkung: Im Falle ${\displaystyle \dim(X)<\infty }$ folgt aus der Stetigkeit die Kompaktheit von ${\displaystyle f}$.

Beweisskizze des endlichdimensionalen Falles

Dieser Satz wird in zwei Teilen bewiesen. Im ersten Schritt besorgt man sich mit Hilfe des eulerschen Polygonzugverfahrens zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ spezielle ${\displaystyle \varepsilon }$-Näherungslösungen dieser Differentialgleichung, genauer: Man konstruiert eine stückweise stetig differenzierbare Funktion ${\displaystyle y_{\varepsilon }\in C([a,a+\alpha ];{\overline {B}}(y_{0},R))}$ mit ${\displaystyle y_{\varepsilon }(a)=y_{0}}$, welche

${\displaystyle \|y_{\varepsilon }'(x)-F(x,y_{\varepsilon }(x))\|\leq \varepsilon }$

in j​edem Differenzierbarkeitspunkt erfüllt s​owie die Gleichstetigkeitsbedingung

${\displaystyle \|y(t)-y(s)\|\leq M|t-s|}$

für alle ${\displaystyle s,t\in [a,a+\alpha ]}$.

Im zweiten Schritt zeigt man mit Hilfe des Satzes von Arzelà-Ascoli, dass es eine gleichmäßig konvergente Teilfolge ${\displaystyle (y_{\varepsilon _{j}})_{j\in \mathbb {N} }}$ gibt. Von ihrer Grenzfunktion ${\displaystyle y}$ zeigt man dann, dass sie die Integralgleichung

${\displaystyle y(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}F(s,y(s)){\rm {d}}s}$

erfüllt. Aus dem Fundamentalsatz der Analysis folgt dann, dass ${\displaystyle y}$ stetig differenzierbar ist und der Differentialgleichung ${\displaystyle \ y'(x)=F(x,y(x))}$ genügt.

Beweisskizze für reelle Banachräume

Wir betrachten die entsprechende Volterra-Integralgleichung für ${\displaystyle t\in [0,\tau ]}$

${\displaystyle x(t)=x_{0}+\int _{0}^{t}f(s,x(s))ds}$.

Wir definieren d​en Operator

${\displaystyle T\colon C^{0}([0,\tau ],B_{1}(x_{0}))\to C^{0}([0,\tau ],B_{1}(x_{0})),x(\cdot )\mapsto x_{0}+\int _{0}^{\cdot }f(s,x(s))ds}$.

Dieser Operator ist stetig bezüglich der Supremumsnorm, da ${\displaystyle {\overline {f([0,1]\times B_{2}(x_{0}))}}\subset X}$ kompakt und somit beschränkt ist. Des Weiteren ist ${\displaystyle \tau$ :=\min(1,(\sup _{[0,1]\times B_{2}(x_{0})}|f|)^{-1})} . Mittels des Satzes von Arzela Ascoli kann man zeigen, dass ${\displaystyle T(C^{0}([0,\tau ],B_{1}\left(x_{0}\right)))}$ relativ kompakt bezüglich der Supremumsnorm in ${\displaystyle C^{0}([0,\tau ],X)}$ ist. Also ist T eine stetige Funktion, die von einer abgeschlossenen, konvexen Teilmenge ${\displaystyle K\subset X}$ in eine kompakte Teilmenge ${\displaystyle C\subset K}$ abbildet. Somit besitzt T mindestens einen Fixpunkt nach dem Fixpunktsatz von Schauder. Jeder dieser Fixpunkte ist Lösung der Volterra-Integralgleichung und damit der Differentialgleichung.

Beispiele

Der Satz v​on Peano s​agt nichts über d​ie Eindeutigkeit aus. Hierfür e​in Beispiel:

${\displaystyle y'(t)={\sqrt {|y(t)|}}}$ mit Anfangswert ${\displaystyle y(0)=0}$. D.h. ${\displaystyle f(t,y(t))=f(y(t))={\sqrt {|y(t)|}}}$ eine autonome Differentialgleichung. Sie erfüllt die Voraussetzungen von Peano. Die Wurzelfunktion ist beschränkt und stetig. Es existiert eine Lösung, diese ist jedoch nicht eindeutig.

${\displaystyle y_{1}(t)=0,y_{1}(0)=0}$ und ${\displaystyle y_{1}'(t)=0={\sqrt {|0|}}={\sqrt {|y(t)|}}}$ sind erfüllt. Das gilt aber auch für ${\displaystyle y_{2}(t)={\frac {t^{2}}{4}},y_{2}(0)=0}$ und ${\displaystyle y'_{2}(t)={\sqrt {\left|{\frac {t^{2}}{4}}\right|}}={\frac {t}{2}}=y_{2}'(t)}$

Wird jedoch der Begriff der Stetigkeit um die sog. Lipschitz-Bedingung an die Funktion ${\displaystyle f}$ erweitert, dann existiert eine eindeutig bestimmte Lösung.

Literatur

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter – de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at).