Gronwallsche Ungleichung

Die gronwallsche Ungleichung i​st eine Ungleichung, d​ie es erlaubt, a​us der impliziten Information e​iner Integralungleichung explizite Schranken herzuleiten. Des Weiteren i​st sie e​in wichtiges Hilfsmittel z​um Beweis v​on Existenz- u​nd Einschließungssätzen für Lösungen v​on Differential- u​nd Integralgleichungen. Sie i​st nach Thomas Hakon Grönwall benannt, d​er sie i​m Jahr 1919 bewies u​nd in e​iner wissenschaftlichen Veröffentlichung beschrieb.

Formulierung

Gegeben seien ein Intervall ${\displaystyle \ I:=[a,b]}$ sowie stetige Funktionen ${\displaystyle u,\alpha :I\rightarrow \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \beta :I\rightarrow [0,\infty )}$. Weiter gelte die Integralungleichung

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s){\rm {d}}s}$

für alle ${\displaystyle t\in I}$. Dann gilt die gronwallsche Ungleichung

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\int _{s}^{t}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s}$

für alle ${\displaystyle t\in I}$.

Man beachte, dass die Funktion ${\displaystyle u}$ in der vorausgesetzten Ungleichung noch auf beiden Seiten vorkommt, in der Schlussfolgerung aber nur noch auf der linken Seite, das heißt, man erhält eine echte Abschätzung für ${\displaystyle u}$.

Spezialfall

Ist ${\displaystyle \alpha }$ monoton steigend so vereinfacht sich die Abschätzung zu

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)e^{\int _{a}^{t}\beta (s){\rm {d}}s}\ .}$

Insbesondere im Fall konstanter Funktionen ${\displaystyle \alpha \equiv A}$ und ${\displaystyle \beta \equiv B\geq 0}$ lautet die gronwallsche Ungleichung

${\displaystyle u(t)\leq A+\int _{a}^{t}ABe^{B(t-s)}{\rm {d}}s=Ae^{B(t-a)}\ .}$

Anwendungen

Eindeutigkeitssatz für Anfangswertprobleme

Es sei ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ , ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} \times \mathbb {K} ^{n}}$, ${\displaystyle (a,y_{0})\in G}$ und ${\displaystyle F:G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}}$ stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem ${\displaystyle \ y'=F(x,y),y(a)=y_{0}}$ genau eine Lösung ${\displaystyle y\in C^{1}([a,b);\mathbb {K} ^{n})}$.

Linear beschränkte Differentialgleichungen

Seien ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ , ${\displaystyle G\subset [a,b)\times \mathbb {K} ^{n}}$, ${\displaystyle (a,y_{0})\in G}$, ${\displaystyle b<\infty }$ und ${\displaystyle F=F(x,y):G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}}$ stetig. Weiter gebe es Funktionen ${\displaystyle \alpha ,\beta \in C([a,b);[0,\infty ))\cap L^{1}([a,b))}$ derart, dass

${\displaystyle \|F(x,y)\|\leq \alpha (x)+\beta (x)\|y\|}$

für alle ${\displaystyle (x,y)\in G}$. Dann ist jede Lösung ${\displaystyle y}$ von

${\displaystyle y'=F(x,y)\ ,\ y(a)=y_{0}}$

auf ${\displaystyle [a,b)}$ beschränkt.

Beweis

Es gilt

${\displaystyle \|y(x)\|\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{x}\|F(s,y(s))\|{\rm {d}}s\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{x}\alpha (s){\rm {d}}s+\int _{a}^{x}\beta (s)\|y(s)\|{\rm {d}}s\ .}$

Die gronwallsche Ungleichung impliziert

${\displaystyle \|y(x)\|\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{x}\alpha (s){\rm {d}}s+\int _{a}^{x}\left(\|y_{0}\|+\int _{a}^{s}\alpha (\sigma ){\rm {d}}\sigma \right)\beta (s)e^{\int _{s}^{x}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s\ ,}$

und daraus ergibt s​ich folgende Abschätzung g​egen eine Konstante:

${\displaystyle \|y(x)\|\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{b}\alpha (s){\rm {d}}s+\int _{a}^{b}\left(\|y_{0}\|+\int _{a}^{b}\alpha (\sigma ){\rm {d}}\sigma \right)\beta (s)e^{\int _{a}^{b}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s\ .}$

Literatur

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at).

Weblinks

• Gronwall’s lemma. In: PlanetMath. (englisch)