Zufälliges Maß

Ein zufälliges Maß i​st in d​er Maß- u​nd der Wahrscheinlichkeitstheorie e​ine Zufallsvariable, d​eren Werte Maße sind. Zufällige geometrische Strukturen, w​ie sie i​n der stochastischen Geometrie untersucht werden, können d​urch zufällige Maße modelliert werden. So k​ann ein Punktprozess, w​ie beispielsweise e​in allgemeiner Poisson-Prozess, a​ls zufälliges Zählmaß angesehen werden, d​as einer Menge d​ie zufällige Anzahl d​er in i​hr enthaltenen Punkte zuordnet. In d​er Statistik treten zufällige Maße beispielsweise a​ls empirische Verteilungen auf. Ebenso lassen s​ich viele Punktprozesse w​ie Binomial-Prozesse, Poisson-Prozesse u​nd Cox-Prozesse a​ls zufällige Maße definieren.

Definition

Es seien ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}^{d})}$ der ${\displaystyle d}$ -dimensionale euklidische Raum mit der borelschen σ-Algebra und ${\displaystyle M}$ die Menge aller lokal endlichen Maße (Borel-Maße) ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}^{d})}$ . Weiter bezeichne ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ die kleinste σ-Algebra auf ${\displaystyle M}$ , so dass alle Abbildungen ${\displaystyle \mu \mapsto \mu (B)}$ , wobei ${\displaystyle B}$ eine beschränkte Borelmenge ist, messbar sind. Ein zufälliges Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ist dann eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ mit Werten im Messraum ${\displaystyle (M,{\mathcal {M}})}$ .

Ein zufälliges Maß ordnet also jedem Zufallsergebnis ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ein Maß ${\displaystyle X_{\omega }}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ zu, das auf beschränkten messbaren Mengen endliche Werte annimmt. Für jede beliebige Borelmenge ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}^{d}}$ ist

${\displaystyle X(A)\colon \Omega \to [0,\infty ],\ \omega \mapsto X_{\omega }(A)}$

eine nichtnegative Zufallsvariable, genannt das zufällige Maß der Menge ${\displaystyle A}$ .

Bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {E} (X(A))}$ den Erwartungswert von ${\displaystyle X(A)}$ , dann ist durch die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {E} (X)\colon {\mathcal {B}}^{d}\to [0,\infty ],\ A\mapsto \operatorname {E} (X(A))}$

ein Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ gegeben, das Intensitätsmaß von ${\displaystyle X}$ genannt wird. Wenn ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ wieder lokal-endlich ist, heißt ${\displaystyle X}$ integrierbar.

Beispiel

Eine zufällige Anordnung von Punkten in der Ebene oder im Raum kann als zufälliges Maß modelliert werden: Sind ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{N}}$ die Positionen von ${\displaystyle N}$ Punkten, aufgefasst als ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ -wertige Zufallsvariable, dann wird durch

${\displaystyle X=\delta _{Z_{1}}+\delta _{Z_{2}}+\ldots +\delta _{Z_{N}}}$

ein zufälliges Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ definiert. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \delta _{z}}$ das Diracmaß an der Stelle ${\displaystyle z}$ . Für eine Borelmenge ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ist dann ${\displaystyle X(A)}$ die (zufällige) Anzahl der Punkte, die in der Menge ${\displaystyle A}$ liegen.

Literatur

• Olav Kallenberg: Random measures 4th edition, (revised printing of the 3rd edition 1983). Akademie-Verlag u. a., Berlin u. a. 1986, ISBN 0-12-394960-2.
• Dietrich Stoyan, Wilfrid S. Kendall, Joseph Mecke: Stochastic Geometry and Its Applications (= Wiley Series in Probability and Statistics). 2. Auflage. Wiley, Chichester u. a. 1995, ISBN 0-471-95099-8, Kap. 7.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 24.