Gleichmäßige Stetigkeit

Eine gleichmäßig stetige Funktion i​st ein Begriff a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Analysis. Gleichmäßige Stetigkeit e​iner Funktion i​st eine stärkere Bedingung a​ls die d​er Stetigkeit e​iner Funktion. Bei e​iner gleichmäßig stetigen Funktion i​st der Abstand beliebiger Paare v​on Funktionswerten kleiner a​ls ein beliebig vorgegebener Maximalfehler, solange d​ie Argumente hinreichend n​ah beieinanderliegen.

Bei gleichmäßig stetigen Funktionen kann um jeden Punkt des Graphen ein Rechteck mit Höhe ${\displaystyle 2\varepsilon }$ und Breite ${\displaystyle 2\delta }$ eingezeichnet werden, ohne dass der Graph direkt ober-/unterhalb des Rechtecks liegt. Die Funktion ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$ ist gleichmäßig stetig. Hier verläuft der Graph nur innerhalb des Rechtecks. Bei der Funktion ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ist dies aber nicht der Fall. Bei kleinen Argumenten in der Nähe der Null verändert sich die Funktion so stark, dass Funktionswerte direkt ober- bzw. unterhalb des Rechtecks liegen.

Definition

Sei ${\displaystyle D}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} }$, kurz ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$.

Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon D\rightarrow \mathbb {R} }$ heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

${\displaystyle \forall \varepsilon >0~\exists \delta >0~\forall x,x_{0}\in D\colon |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }$.

Zur besseren Unterscheidung bezeichnet man die gewöhnliche Stetigkeit, wenn sie in jedem Punkt von ${\displaystyle D}$ gegeben ist, auch als punktweise Stetigkeit.

Die Besonderheit der gleichmäßigen Stetigkeit besteht darin, dass ${\displaystyle \delta }$ nur von ${\displaystyle \varepsilon }$ und nicht, wie bei der punktweisen Stetigkeit, noch zusätzlich von der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ abhängt.

Anschaulich bedeutet das: Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite ${\displaystyle \varepsilon }$ kann man eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite ${\displaystyle \delta }$ finden, sodass, wenn man das Rechteck mit den Seiten ${\displaystyle \varepsilon$ ;\delta } geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangführt, dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet. (Bsp.: Wurzelfunktion auf ${\displaystyle (0,\infty )}$).

Beispiele

Betrachte d​ie Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ mit ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$:

Diese ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig: Je weiter rechts man in einem der ${\displaystyle \delta }$-Streifen zwei Punkte wählt, desto größer kann der Abstand der beiden Funktionswerte werden und somit unser gewähltes ${\displaystyle \varepsilon }$ übersteigen. Dies entspricht nicht der Definition gleichmäßiger Stetigkeit: Der Abstand der Funktionswerte muss für jede Wahl zweier solcher Stellen kleiner als ein vorgegebenes ${\displaystyle \varepsilon }$ sein. Das ist bei dieser Funktion nicht der Fall.

Weiterhin gilt: Jede Einschränkung von ${\displaystyle f}$ auf ein kompaktes Intervall ist gleichmäßig stetig. Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Heine.

Ein anderes Beispiel i​st die stetige Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ mit ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

die gleichmäßig stetig, s​ogar hölderstetig, a​ber nicht lipschitzstetig ist.

Verallgemeinerung: metrische Räume

Allgemeiner w​ird auch folgende Definition verwendet:

Seien ${\displaystyle (X,d_{X}),(Y,d_{Y})}$ zwei metrische Räume. Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

${\displaystyle \forall \varepsilon >0~\exists \delta >0~\forall x,x_{0}\in X\colon d_{X}(x,x_{0})<\delta \Rightarrow d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon }$.

Verallgemeinerung: uniforme Räume

Noch allgemeiner heißt in der Topologie eine Funktion ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ zwischen zwei uniformen Räumen ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}}_{X})}$ und ${\displaystyle (Y,{\mathcal {U}}_{Y})}$ gleichmäßig stetig, wenn das Urbild jeder Nachbarschaft wieder eine Nachbarschaft ist, wenn also ${\displaystyle (f\times f)^{-1}({\mathcal {U}}_{Y})\subset {\mathcal {U}}_{X}.}$

Eigenschaften

Jede gleichmäßig stetige Funktion i​st stetig. Die Umkehrung g​ilt nicht: Es g​ibt stetige Funktionen w​ie die Quadratfunktion, d​ie nicht gleichmäßig stetig sind. Für gewisse Definitionsbereiche fallen Stetigkeit u​nd gleichmäßige Stetigkeit wiederum zusammen. Der Satz v​on Heine besagt nämlich: Jede stetige Funktion a​uf einer kompakten Menge i​st gleichmäßig stetig.

Ist ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Cauchy-Folge im Raum ${\displaystyle M}$ und ist ${\displaystyle f\colon M\to N}$ gleichmäßig stetig, so ist auch ${\displaystyle (f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Cauchy-Folge in ${\displaystyle N}$. Dies gilt im Allgemeinen nicht für Funktionen, die nur stetig sind, wie das Beispiel ${\displaystyle M=(0,1],f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ und ${\displaystyle x_{n}={\tfrac {1}{n}}}$ zeigt.

Unmittelbar daraus, dass ${\displaystyle f}$ Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen abbildet, folgt nun: Ist ${\displaystyle f}$ gleichmäßig stetig auf einer Menge ${\displaystyle M}$, dann ist ${\displaystyle f}$ stetig fortsetzbar auf den Abschluss ${\displaystyle {\overline {M}}}$.

Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ lässt sich anschaulich die Aussage treffen, dass eine gleichmäßig stetige Funktion (mit Werten in ${\displaystyle \mathbb {R} }$) keine Polstellen besitzen kann. Wie sollte sie auch, lässt sie sich doch – wie bereits dargestellt – stetig auf den Abschluss ihres Definitionsbereiches fortsetzen. Eine solche stetige Fortsetzung ist in einer Polstelle aber eben nicht möglich.

Spezielle Formen d​er gleichmäßigen Stetigkeit s​ind Hölder- u​nd Lipschitz-Stetigkeit.

Visualisierung

Bei einer gleichmäßig stetigen Funktion kann für jeden vorgegebenen Maximalfehler ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle \delta >0}$ gefunden werden, so dass sich alle Paare von Funktionswerten ${\displaystyle f(x)}$ und ${\displaystyle f(y)}$ um maximal ${\displaystyle \varepsilon }$ unterscheiden, solange die Abstände von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ kleiner als ${\displaystyle \delta }$ sind. Dementsprechend kann um jeden Punkt ${\displaystyle (x,f(x))}$ des Graphen ein Rechteck mit Höhe ${\displaystyle 2\varepsilon }$ und Breite ${\displaystyle 2\delta }$ eingezeichnet werden, bei dem der Graph komplett im Inneren des Rechtecks verläuft, so dass keine Funktionswerte direkt ober- beziehungsweise unterhalb des Rechtecks liegen. Bei nicht gleichmäßig stetigen Funktionen ist dies nicht möglich. Zum Teil verläuft zwar der Graph im Inneren des Rechtecks – aber nicht überall.

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  Bei gleichmäßig stetigen Funktion kann für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ um jeden Punkt ein Rechteck mit Höhe ${\displaystyle 2\varepsilon }$ und Breite ${\displaystyle 2\delta }$ eingezeichnet werden, bei dem der Graph komplett im Inneren des Rechtecks verläuft.
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  Bei nicht gleichmäßig stetigen Funktion gibt es Werte ${\displaystyle \varepsilon >0}$ bei denen es unmöglich ist, ein ${\displaystyle \delta >0}$ zu finden, so dass der Graph überall im Inneren des ${\displaystyle 2\varepsilon }$-${\displaystyle 2\delta }$-Rechtecks verläuft. Wenn man das Rechteck entlang des Graphen verschiebt, so gibt es Stellen, wo Funktionswerte direkt ober- beziehungsweise unterhalb liegen.

Siehe auch

• Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit

Quellen

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.
• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.
• Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.