Satz von Bochner-Minlos

Der Satz v​on Bochner-Minlos, benannt n​ach Salomon Bochner u​nd Robert Adolfowitsch Minlos, m​acht eine Aussage über d​en Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsmaßen u​nd charakteristischen Funktionen a​uf nuklearen Räumen. Nach Aussage d​es Satzes existiert e​ine Eins-zu-eins-Verbindung zwischen beiden Konzepten, d. h. m​an kann z​u jedem Wahrscheinlichkeitsmaß e​ine charakteristische Funktion berechnen, u​nd umgekehrt erhält m​an aus j​eder charakteristischen Funktion e​in eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß. Beide Objekte s​ind durch e​ine Fouriertransformation miteinander verknüpft.

Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Bochner über charakteristische Funktionen auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

Aussage des Satzes

Für jede charakteristische Funktion ${\displaystyle \varphi :E\rightarrow \mathbb {C} }$ auf einem reellen nuklearen Raum ${\displaystyle E}$ existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \nu }$, so dass

${\displaystyle \varphi (\xi )=\int _{E^{\prime }}\exp(i\langle \xi ,x\rangle )d\nu (x),\quad \xi \in E}$

ist. Umgekehrt ist die Fouriertransformierte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle \nu }$ auf ${\displaystyle E^{\prime }}$ immer eine charakteristische Funktion auf ${\displaystyle E}$.[1]

Hier sind ${\displaystyle E^{\prime }}$ der starke Dualraum von ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle \langle \xi ,x\rangle }$ die duale Paarung.

Beispiel

Betrachtet m​an im eindimensionalen Fall d​ie Gaußfunktion

${\displaystyle x\mapsto \exp \left(-{\frac {1}{2}}x^{2}\right)}$

als charakteristische Funktion, so ist das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \nu }$ das Maß mit gaußscher Dichte

${\displaystyle d\nu (y)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}y^{2}\right)dy}$.

Dieses Ergebnis lässt sich für den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinern. Der Schwartzraum ${\displaystyle S(\mathbb {R} )}$ ist ein Beispiel für einen (unendlichdimensionalen) nuklearen Raum. Dort kann man die charakteristische Funktion

${\displaystyle \varphi :S(\mathbb {R} )\rightarrow \mathbb {R} ,\varphi (\xi )=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\langle \xi ,\xi \rangle \right)}$

definieren. Nach Aussage des Satzes gibt es dann ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mu }$ auf dem Raum der temperierten Distributionen mit den oben genannten Eigenschaften. Dieses Maß wird in der White Noise Analysis als White-Noise-Maß bezeichnet.

Einzelnachweis

1. Obata, Nobuaki: White Noise Calculus and Fock Space, Springer, 1994, ISBN 978-3-540-57985-4, Abschnitt 1.5.

Weblinks

• Jordan Bell: The Bochner-Minlos theorem