Asymptotische Dichte

Die asymptotische Dichte i​st ein zahlentheoretischer Grenzwert, d​er den Anteil e​iner Untermenge natürlicher Zahlen a​n der Menge natürlicher Zahlen angibt.

Einfache Definition

Man n​ennt den Grenzwert

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

die asymptotische Dichte ${\displaystyle d(A)}$ einer Untermenge ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$. Dabei ist ${\displaystyle a(n)}$ die Zählfunktion von ${\displaystyle A}$. Diese gibt an, wie viele Elemente aus ${\displaystyle A}$ nicht größer als ${\displaystyle n}$ sind. Es gilt ${\displaystyle 0\leq d(A)\leq 1}$.

Obere und untere asymptotische Dichte

Für ein beliebiges ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ sei ${\displaystyle A(n)=\{1,2,\dotsc ,n\}\cap A}$ und ${\displaystyle a(n)=|A(n)|}$.

Die obere asymptotische Dichte ${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$ von ${\displaystyle A}$ ist dann durch

${\displaystyle {\overline {d}}(A)\colon =\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

definiert, wobei lim sup der Limes superior ist. Ebenso ist ${\displaystyle {\underline {d}}(A)}$ die durch

${\displaystyle {\underline {d}}(A)\colon =\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

definierte untere asymptotische Dichte von ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle A}$ hat nur dann eine asymptotische Dichte ${\displaystyle d(A)}$, wenn ${\displaystyle {\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)}$ gilt. In diesem Fall existiert der Grenzwert

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}={\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)=\colon d(A)}$

und daher kann durch ihn ${\displaystyle d(A)}$ definiert werden.

Beispiele

• Wenn ${\displaystyle d(A)}$ für die Menge ${\displaystyle A}$ existiert, dann gilt für die bezüglich ${\displaystyle \mathbb {N} }$ komplementäre Menge ${\displaystyle {\overline {A}}}$: ${\displaystyle d({\overline {A}})=1-d(A)}$
• ${\displaystyle d(\mathbb {N} )=1}$
• Für eine beliebige endliche Menge ${\displaystyle E}$ natürlicher Zahlen gilt: ${\displaystyle d(E)=0}$
• Für die Menge ${\displaystyle A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}}$ aller Quadratzahlen gilt: ${\displaystyle d(A)=0}$
• Für die Menge ${\displaystyle A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}}$ aller geraden Zahlen gilt: ${\displaystyle d(A)=1/2}$
• Allgemeiner gilt für jede arithmetische Folge ${\displaystyle A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}}$ mit positivem ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle d(A)=1/a}$
• Für die Menge ${\displaystyle P}$ aller Primzahlen erhält man aufgrund des Primzahlsatzes: ${\displaystyle d(P)=0}$
• Die Menge aller quadratfreien natürlichen Zahlen hat die Dichte ${\displaystyle 6/\pi ^{2}=1/\zeta (2)}$ mit der Riemannschen Zetafunktion ${\displaystyle \zeta }$.
• Die Dichte abundanter Zahlen liegt zwischen 0,2474 und 0,2480.
• Die Menge ${\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\dotsc ,2^{2n+1}-1\right\}}$ aller Zahlen, deren Binärdarstellung eine ungerade Anzahl an Stellen hat, ist ein Beispiel für eine Menge ohne asymptotische Dichte. Für die untere und obere asymptotische Dichte gilt in diesem Fall:

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\dotsb +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\dotsb +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}}$

Quellen

• Melvyn B. Nathanson: Elementary methods in number theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 195). Springer, New York 2000, ISBN 0-387-98912-9 (englisch, zbmath.org).
• Hans-Heinrich Ostmann: Additive Zahlentheorie (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 7). Erster Teil: Allgemeine Untersuchungen. Springer-Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg 1956, ISBN 978-3-662-11030-0 (books.google.de – Leseprobe).
• Jörn Steuding: Probabilistic number theory. (PDF) In: psu.edu. citeseerx.ist.psu.edu, abgerufen am 7. Februar 2016.
• Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 46). Cambridge university press, Cambridge 1995, ISBN 0-521-41261-7 (französisch, zbmath.org).