Hardy-Littlewood-Vermutung

Die beiden Hardy-Littlewood-Vermutungen s​ind unbewiesene mathematische Vermutungen a​us dem Bereich d​er Zahlentheorie. Sie wurden v​on den beiden englischen Mathematikern Godfrey Harold Hardy u​nd John Edensor Littlewood aufgestellt u​nd im Jahre 1923 i​m Werk "Some Problems o​f 'Partitio Numerorum.' III. On t​he Expression o​f a Number a​s a Sum o​f Primes." veröffentlicht.[1]

Im Jahre 1974 gelang e​s Ian Richards aufzuzeigen, d​ass die beiden Hardy-Littlewood-Vermutungen inkompatibel zueinander sind. Das bedeutet, s​ie können n​icht beide korrekt sein, sondern höchstens eine.[2]

Erste Hardy-Littlewood-Vermutung

Die erste Hardy-Littlewood-Vermutung wird auch k-Tupel-Vermutung oder starke Primzahlzwillingsvermutung genannt. Letzteres hat den Grund, dass durch das Beweisen der ersten Hardy-Littlewood-Vermutung unter anderem auch die Primzahlzwillingsvermutung – nach der unendlich viele Primzahlzwillinge existieren – bewiesen wird. Sie besagt, es existieren unendlich viele Primzahltupel zu allen korrekten (und nicht notwendigerweise dichtesten) Konfigurationen und gibt eine explizite Funktion für die Dichte dieser an.[3][4] Mit einer Konfiguration eines Primzahltupels werden die Differenzen zwischen den Tupelelementen beschrieben. So ist beispielsweise ${\displaystyle (0,2)}$ eine mögliche korrekte Konfiguration eines primen 2-Tupels (auch bekannt als Primzahlzwilling). Damit eine Konfiguration als korrekt gilt, dürfen nicht alle möglichen Reste bezüglich jeder Primzahl ${\displaystyle \leq k}$ im Tupel vorkommen (→ Primzahltupel). Die dichtesten Konfigurationen werden auch Konstellationen genannt.

Sei im Weiteren ${\displaystyle P}$ die Funktion, die zu einer beliebigen Zahl die Menge aller Primzahlen kleinergleich dieser Zahl angibt. Formal:

${\displaystyle P:\mathbb {R} \rightarrow {\mathcal {P}}(\mathbb {P} ),x\mapsto [0,x]\cap \mathbb {P} }$

Wobei die eckigen Klammern ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ für ein abgeschlossenes Intervall stehen und wobei ${\displaystyle \mathbb {P} }$ für die Menge aller Primzahlen steht. Sei ${\displaystyle \pi }$ die Primzahlfunktion, sie gibt also die Anzahl der Primzahlen an, die kleiner oder gleich sind wie ihr Funktionsargument. Diese lässt sich dank der Definition der Funktion ${\displaystyle P}$ einfach formalisieren:

${\displaystyle \pi$ :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {N} ,x\mapsto \left|P(x)\right|}

Nun kann für beliebige korrekte Konfigurationen ${\displaystyle (p,p+2m_{1},\dots ,p+2m_{k})}$ der Größe ${\displaystyle k+1}$ eine Konstante ${\displaystyle C_{m_{1},\dots ,m_{k}}}$ eingeführt werden, die durch das folgende konvergente unendliche Produkt definiert ist:

${\displaystyle C_{m_{1},\dots ,m_{k}}=2^{k}\cdot \prod _{p\in \mathbb {P} \setminus \{2\}}{\frac {1-{\frac {w(p;m_{1},\dots ,m_{k})}{p}}}{\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{k+1}}}}$

Wobei ${\displaystyle w(p;m_{1},\dots ,m_{k})}$ die Anzahl unterschiedlicher Reste von ${\displaystyle 0,m_{1},\dots m_{k}}$ bezüglich des Teilers ${\displaystyle p}$ bezeichnet. Formal:

${\displaystyle w(p;m_{1},\dots ,m_{k})=\left|\left\{n\in \mathbb {N} \mid \exists i\in \mathbb {N} :n=m_{i}\mod p\right\}\right|}$

Die Zahl ${\displaystyle C_{2}\approx 0{,}66016\dots }$ wird auch Primzahlzwillingskonstante bezeichnet. (Folge A005597 in OEIS)

${\displaystyle C_{2}=\left(\prod _{p\in \mathbb {P} \setminus \{2\}}{\frac {p\cdot (p-2)}{(p-1)^{2}}}\right)=\left(\prod _{p\in \mathbb {P} \setminus \{2\}}1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0{,}66016\dots }$

Für Primzahlpaare (${\displaystyle k=1}$) mit beliebiger Differenz ${\displaystyle m}$ existiert für die Konstante ${\displaystyle C_{m}}$ die folgende Formel:

${\displaystyle C_{m}=2\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {p\cdot (p-2)}{(p-1)^{2}}}\prod _{p\in \left\{n\in \mathbb {P} \mid n\mid m\right\}}{\frac {p-1}{p-2}}}$

Wobei ${\displaystyle n\mid m}$ für die Teilbarkeitsrelation steht.

Für ${\displaystyle C_{2}}$ hat sich der oben erwähnte Wert von etwa 0,66016 etabliert. Es ist hierbei zu unterscheiden, dass ${\displaystyle C_{m}}$ mit ${\displaystyle m=2}$ und folglich ${\displaystyle k=1}$ doppelt so groß ist wie ${\displaystyle C_{2}}$, weswegen es für die Vermutung zum asymptotischen Verhalten auch zwei unterschiedliche Formeln gibt.

Interessanterweise ist die Konstante ${\displaystyle C}$ für unterschiedliche Konfigurationenen gleicher Größe nicht notwendigerweise gleich. Das kleinste Gegenbeispiel ist eine Konstellation der Größe 8.[5]

Es lässt sich nun auch die Primzahlfunktion ${\displaystyle \pi }$ um den Index ${\displaystyle (m_{1},\dots ,m_{k})}$ erweitern, sodass ${\displaystyle \pi _{m_{1},\dots ,m_{k}}}$ die Anzahl aller Primzahltupel bezeichnet, die von der Form ${\displaystyle (p,p+2m_{1},\dots ,p+2m_{k})}$ sind und deren Komponenten nicht größer als das Funktionsargument sind. Als Beispiel sei ${\displaystyle \pi _{2}(9)=2}$ genannt, denn bis 9 gibt es die Primzahlzwillinge ${\displaystyle (3,5)}$ und ${\displaystyle (5,7)}$.

Mit d​er ersten Hardy-Littlewood-Vermutung w​ird nun behauptet, e​s gälte d​as asymptotische Verhalten

${\displaystyle \pi _{2}(n)\sim 2C_{2}\int _{2}^{n}{\frac {\mathrm {d} t}{(\ln t)^{2}}}}$

was s​ich auch w​ie folgt a​ls Grenzwert formalisieren lässt:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\pi _{2}(n)}{2C_{2}\int _{2}^{n}{dt \over (\ln t)^{2}}}}=1}$

Auf beliebige Konfigurationen verallgemeinert lautet d​ie Vermutung

${\displaystyle \pi _{m_{1},\dots ,m_{k}}(n)\sim C_{m_{1},\dots ,m_{k}}\int _{2}^{n}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \ln ^{k+1}t}}}$

was s​ich auf analoge Weise z​u einem Grenzwert umformen lässt.

Da die Anzahl der Primzahlen ${\displaystyle \pi }$ laut dem Primzahlsatz asymptotisch äquivalent zu ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$ ist – es gilt also ${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$ –, so scheint die Vermutung durchaus plausibel, und auch numerisch lässt sich die asymptotische Form gut bestätigen, was jedoch nicht hinreichend für einen Beweis ist.

Zweite Hardy-Littlewood-Vermutung

Die zweite Hardy-Littlewood-Vermutung trifft d​ie Aussage über d​ie Anzahl d​er Primzahlen i​n einem Intervall. Genauer g​eht es u​m die folgende Ungleichung:

${\displaystyle \forall x,y\in \left\{n\in \mathbb {N} \mid n\geq 2\right\}:\pi (x+y)\leq \pi (x)+\pi (y)}$

Wobei ${\displaystyle \pi }$ erneut die Primzahlfunktion ist, also die Anzahl der Primzahlen angibt.

Im Allgemeinen w​ird davon ausgegangen, d​ass diese Vermutung falsch ist, d​a sie – w​ie anfangs erwähnt – n​icht kompatibel z​ur plausibleren ersten Hardy-Littlewood-Vermutung ist.[1]

Der Fall für ${\displaystyle x=y}$ ist trivial. Die Primzahlfunktion wächst langsamer als linear, formal lässt sich also sagen, dass ${\displaystyle \pi \in {\hbox{o}}(\operatorname {id} _{\mathbb {R} })}$ gilt, wobei ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} }}$ die identische Abbildung ist. Siehe Landau-Symbole für die o-Notation. Folglich muss also die Ungleichung ${\displaystyle \pi (2\cdot x)\leq 2\cdot \pi (x)}$ für ${\displaystyle x\geq 2}$ gelten.

Als Beispielwerte für ${\displaystyle x,y\in \left\{n\in \mathbb {N} \mid n\geq 2\right\}}$, für welche die Gleichung ${\displaystyle \pi (x+y)=\pi (x)+\pi (y)}$ gilt, seien konkret ${\displaystyle (2,3)}$ genannt. Allgemein erfüllen alle Paare ${\displaystyle (x,y)=(2,p)}$ bzw. ${\displaystyle (p,2)}$ die Gleichung, bei welchen ${\displaystyle p}$ das kleinere Element eines Primzahlzwillingspaares ist.

Analog dazu gilt die Ungleichung ${\displaystyle \pi (x+y)<\pi (x)+\pi (y)}$ für alle ${\displaystyle (2,p)}$ bzw. ${\displaystyle (p,2)}$, bei denen ${\displaystyle p}$ nicht das kleinere Element eines Primzahlzwillingspaares ist. Ein Beispiel ist ${\displaystyle p=7}$, denn ${\displaystyle (7,9)}$ ist kein Primzahlzwillingspaar, da 9 nicht prim ist.

Weblinks

• Tamar Ziegler: Linear equations in primes and dynamics of nilmanifolds, Arxiv 2014 (PDF; 315 kB), (Überblick über aktuelle Entwicklungen zur ersten Hardy-Littlewood-Vermutung, insbesondere aus der Ergodentheorie)

Einzelnachweise

1. "Hardy-Littlewood Conjectures -- from Wolfram MathWorld". Abgerufen am 12. Juni 2014.
2. "On the incompatibility of two conjectures concerning primes; a discussion of the use of computers in attacking a theoretical problem". Abgerufen am 12. Juni 2014.
3. "k-Tuple Conjecture -- from Wolfram MathWorld". Abgerufen am 12. Juni 2014.
4. "The Prime Glossary: prime k-tuple conjecture". Abgerufen am 12. Juni 2014.
5. "Hardy-Littlewood constants". Abgerufen am 12. Juni 2014.