Primorial

Mit Primorial (von engl. primorial), o​der Primfakultät, bezeichnet m​an das Produkt a​ller Primzahlen, d​ie eine bestimmte Zahl n​icht übersteigen. Die Begriffe s​ind eng m​it der Fakultät verwandt u​nd kommen v​or allem i​n dem mathematischen Gebiet d​er Zahlentheorie z​um Einsatz.

Der Name Primorial ist das eingedeutschte englische Wort primorial. Das Produkt der Primzahlen kleiner gleich ${\displaystyle n}$ wird allerdings im Deutschen selten Primorial, noch seltener Primfakultät genannt. Meist wird es umschrieben als „Produkt der Primzahlen kleiner gleich n“.

Definition

Für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ ist die Primfakultät ${\displaystyle n\#}$ definiert als das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle n\#=\prod _{p\ \mathrm {prim} }^{p\leq n}p}$.

Manchmal unterscheidet man den Spezialfall, in dem ${\displaystyle n}$ Primzahl ist, und definiert nur für diesen analog das Primorial, das für nicht-prime ${\displaystyle n}$ undefiniert bleibt.

Im Fall ${\displaystyle n\leq 1}$ liegt das leere Produkt vor, der Wert der Primfakultät und des Primorials beträgt dann 1. Für Argumente ${\displaystyle n}$, die keine Primzahlen sind, besitzt das Primorial keine Werte. Die Primfakultät liefert für diese ${\displaystyle n}$ den Wert, den die nächstkleinere Primzahl liefern würde. Im praktischen Gebrauch werden jedoch beide Begriffe meist als Synonym verwendet.

Beispiel

Um den Wert des Primorials ${\displaystyle 7\#}$ zu berechnen, bestimmt man zunächst alle Primzahlen kleiner gleich 7. Diese sind 2, 3, 5 und 7. Das Produkt dieser vier Primzahlen liefert ${\displaystyle 7\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210}$. Für 9 könnte man dagegen kein Primorial, wohl aber die Primfakultät berechnen – da 9 keine Primzahl ist und die nächstkleinere Primzahl die 7 und die nächstgrößere Primzahl die 11 ist, gilt ${\displaystyle 7\#=8\#=9\#=10\#=210}$.

Eigenschaften

Vergleich der Fakultät (gelb) und der Primfakultät (rot)

• Es seien ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ zwei benachbarte Primzahlen. Dann gilt für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle p\leq n<q}$:

${\displaystyle n\#=p\#}$

• Für das Primorial kennt man folgende Abschätzung[1]

${\displaystyle n\#\leq 4^{n}}$.

• Ferner gilt:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e}$

Für ${\displaystyle n<10^{11}}$ sind die Werte kleiner als ${\displaystyle e}$,[2] aber mit größeren ${\displaystyle n}$ überschreiten die Werte der Funktion die Schranke ${\displaystyle e}$ und oszillieren später unendlich oft um ${\displaystyle e}$.

• Ist ${\displaystyle p_{k}}$ die ${\displaystyle k}$-te Primzahl, dann hat ${\displaystyle p_{k}\#}$ genau ${\displaystyle 2^{k}}$ Teiler. Zum Beispiel hat die Zahl ${\displaystyle 2\#}$ 2 Teiler, ${\displaystyle 3\#}$ hat 4 Teiler, ${\displaystyle 5\#}$ hat 8 und ${\displaystyle 97\#}$ hat bereits ${\displaystyle 2^{25}}$ Teiler, denn 97 ist die 25. Primzahl.

• Die Summe der Kehrwerte der Primfakultät konvergiert gegen eine Konstante

${\displaystyle \sum _{p{\text{ prim}}}{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots =0{,}7052301717918\ldots }$

Die Engel-Entwicklung (eine spezielle Stammbruch-Entwicklung) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe Folge A064648 in OEIS)

• Nach dem Satz von Euklid wird ${\displaystyle p\#+1}$ benutzt, um die Unendlichkeit aller Primzahlen zu beweisen.

Tabelle mit Beispielwerten

n	n#
2	2
3	6
5	30
7	210
11	2.310
13	30.030
17	510.510
19	9.699.690
23	223.092.870
29	6.469.693.230
31	200.560.490.130
37	7.420.738.134.810
41	304.250.263.527.210
43	13.082.761.331.670.030
47	614.889.782.588.491.410
53	32.589.158.477.190.044.730
59	1.922.760.350.154.212.639.070
61	117.288.381.359.406.970.983.270
67	7.858.321.551.080.267.055.879.090
71	557.940.830.126.698.960.967.415.390
73	40.729.680.599.249.024.150.621.323.470
79	3.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130
83	267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790
89	23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310
97	2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070

Quellen

1. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
   Theorem 415, S. 341
2. L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions ${\displaystyle \theta (x)}$ and ${\displaystyle \psi (x)}$. II. Math. Comp. Bd. 34, Nr. 134 (1976) 337–360; dort S. 359.
   Zitiert in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef ${\displaystyle \theta }$ sur le ${\displaystyle k}$-ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction ${\displaystyle \omega (n)}$, nombre de diviseurs premiers de ${\displaystyle n}$. Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); dort S. 371

Weblinks

• Primfakultät und Primorial