Schwarzschild-Tangherlini-Metrik

In d​er Allgemeinen Relativitätstheorie w​ird die höherdimensionale Verallgemeinerung d​er Schwarzschild-Metrik a​ls Schwarzschild-Tangherlini-Metrik (nach Karl Schwarzschild, Frank R. Tangherlini) bezeichnet. Die allgemeine Form d​es Linienelements (in Weinbergs Vorzeichenkonvention) ist

${\displaystyle ds^{2}=-{\Big [}1-{\Big (}{\frac {a}{r}}{\Big )}^{d-3}{\Big ]}dt^{2}+{\Big [}1-{\Big (}{\frac {a}{r}}{\Big )}^{d-3}{\Big ]}^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{d-2}^{2},}$

wobei ${\displaystyle c=1}$ gesetzt wurde und ${\displaystyle d}$ die Anzahl der Dimensionen der Raumzeit bezeichnet. In der "gewöhnlichen" Raumzeit wäre also ${\displaystyle d=4}$ . Mit ${\displaystyle d\Omega _{d-2}^{2}}$ wird die Standardmetrik auf der ${\displaystyle d-2}$ -dimensionalen Einheitssphäre ${\displaystyle S^{d-2}}$ bezeichnet, die induktiv definiert ist durch

${\displaystyle d\Omega _{1}^{2}=d\varphi ^{2},\quad d\Omega _{i+1}^{2}=d\theta _{i}^{2}+\sin ^{2}\theta _{i}d\Omega _{i}^{2}\;(i\geq 1),}$

wobei die Koordinate ${\displaystyle \varphi }$ Werte zwischen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 2\pi }$ annimmt, während die Koordinaten ${\displaystyle \theta _{i}}$ Werte zwischen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle \pi }$ annehmen. Für ${\displaystyle d=6}$ ergibt sich beispielsweise

${\displaystyle d\Omega _{4}^{2}=d\theta _{3}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}d\theta _{2}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}\sin ^{2}\theta _{2}d\theta _{1}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}\sin ^{2}\theta _{2}\sin ^{2}\theta _{1}d\varphi ^{2}.}$

Für ${\displaystyle d\geq 5}$ ergibt sich das interessante Ergebnis, dass in dieser Metrik keine stabilen, gebundenen Bahnen massiver Teilchen existieren, die für ${\displaystyle d=4}$ durchaus existieren. Dies sieht man ein, indem man die Bewegung in der Äquatorialebene ${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=\ldots ={\frac {\pi }{2}}}$ betrachtet und die Koordinate ${\displaystyle u(\varphi )={\frac {a}{r}}}$ einführt. Aus der Lagrange-Dichte ergibt sich durch Einführung der Erhaltungsgrößen ${\displaystyle E}$ ("Energie") und ${\displaystyle l}$ ("Drehimpuls") die Gleichung

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}u^{2}-{\frac {1}{2}}u^{d-1}-{\frac {a^{2}}{l^{2}}}u^{d-3}={\frac {a^{2}}{l^{2}}}(E-1),}$

wobei die letzten drei Terme auf der linken Seite ein effektives Potential darstellen. Skizziert man den Verlauf über ${\displaystyle u}$ , so erkennt man sofort, dass für ${\displaystyle d\geq 5}$ maximal ein bzw. genau ein (${\displaystyle d\geq 6}$ ) Extremalpunkt existiert. Somit ist jede Teilchenbahn entweder unbeschränkt oder führt in die Singularität bei ${\displaystyle u=\infty }$ .

Literatur

• Tangherlini, F.R., "Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem", Nuovo Cim.27: 636-651 (1963)