Vaidya-Metrik

Die Vaidya-Metrik i​st eine Verallgemeinerung d​er kugelsymmetrischen Schwarzschild-Metrik. Sie i​st nach d​em indischen Physiker Prahalad Chunnilal Vaidya benannt u​nd gilt für nichtrotierende u​nd elektrisch neutrale Körper, d​eren Masse jedoch – i​m Gegensatz z​ur Schwarzschild-Metrik – aufgrund v​on emittierter o​der absorbierter masseloser Strahlung („null dust“, z. B. Photonen o​der Neutrinos, a​ber keine elektromagnetische Strahlung) m​it der Zeit zu- o​der abnimmt:

${\displaystyle {\begin{aligned}M(t)&\neq {\text{konst.}}\\\Leftrightarrow {\frac {dM}{dt}}&\neq 0\end{aligned}}}$

Die Vaidya-Metrik i​st daher – wieder i​m Gegensatz z​ur Schwarzschild-Metrik – w​eder statisch n​och stationär.

Anwendung

Sowohl Sterne als auch Schwarze Löcher verlieren aufgrund von Strahlungstransport bzw. Hawking-Strahlung Masse[1] oder können aufgrund einfallender Materie oder Strahlung an Masse zunehmen. Abhängig davon, ob der Massenverlust oder die -zunahme überwiegt, ist ${\displaystyle M(t)}$ eine monoton fallende oder eine monoton steigende Funktion.

Mit d​er Vaidya-Metrik lassen s​ich solche physikalische Verhältnisse jedoch n​ur mit Einschränkungen modellieren:

• zum Einen berücksichtigt sie nur masselose Strahlung korrekt
• zum Anderen ist sie insofern unphysikalisch, als die Änderung der Masse sofort im ganzen Raum wirksam wird (Fernwirkung).

Eine Metrik a​ls konsistente Lösung für verdampfende Schwarze Löcher konnte b​is heute n​icht gefunden werden. Daher werden für Analysen u​nd Simulationen Kombinationen a​us folgenden Metriken verwendet:

• Vaidya-Metriken für den Bereich, in dem die Hawking-Strahlung entsteht (in der Nähe des Ereignishorizonts),
• für etwas größere Abstände die Schwarzschild-Metrik
• für große Entfernungen die Minkowski-Metrik der flachen Raumzeit.[2]

Mathematische Beschreibung

Vaidya-Metrik

In den natürlichen Einheiten ${\displaystyle G=c=k_{\rm {B}}=1}$ und mit ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi ^{2}}$ lautet das Linienelement der Vaidya-Metrik in auslaufenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten[3]

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=-\left(1-{\dfrac {2M(u)}{r}}\right){\rm {d}}u^{2}-2\ {\rm {d}}u\ {\rm {d}}r+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2}}$

und i​n einlaufenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=-\left(1-{\dfrac {2M(v)}{r}}\right){\rm {d}}v^{2}+2\ {\rm {d}}v\ {\rm {d}}r+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2}.}$

Vaidya-Bonner-Metrik

Für elektrisch geladene Körper erweitert s​ich die Vaidya-Metrik a​uf die Vaidya-Bonner-Metrik

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=-\left(1-{\dfrac {2M(u)}{r}}+{\dfrac {Q(u)}{r^{2}}}\right){\rm {d}}u^{2}-2\ {\rm {d}}u\ {\rm {d}}r+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2}}$

und

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=-\left(1-{\dfrac {2M(v)}{r}}+{\dfrac {Q(v)}{r^{2}}}\right){\rm {d}}v^{2}+2\ {\rm {d}}v\ {\rm {d}}r+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2},}$

wobei

• ${\displaystyle M}$ das Massenäquivalent und
• ${\displaystyle Q}$ die elektrische Ladung des zentralen Körpers ist.

Die Vaidya-Bonner-Metrik reduziert sich:

• mit ${\displaystyle Q={\rm {d}}Q=0}$ auf die Vaidya-Metrik
• mit ${\displaystyle {\rm {d}}M={\rm {d}}Q=0}$ auf die Reissner-Nordström-Metrik
• mit ${\displaystyle {\rm {d}}M={\rm {d}}Q=Q=0}$ auf die Schwarzschild-Metrik.

	M = konst.	M ≠ konst.
ungeladen (${\displaystyle Q=0}$)	Schwarzschild-Metrik	Vaidya-Metrik
geladen (${\displaystyle Q\neq 0}$)	Reissner-Nordström-Metrik	Vaidya-Bonner-Metrik

Bedeutung der Koordinatenzeit

Die Zeitkoordinate ${\displaystyle t}$ eines feldfreien und ausreichend weit von der Masse ${\displaystyle M}$ entfernten stationären Beobachters steht mit den Koordinaten ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ im Verhältnis[4]

${\displaystyle {\rm {d}}t={\rm {d}}u+{\frac {{\rm {d}}r}{1-2M(u)/r+Q(u)/r^{2}}},}$

${\displaystyle {\rm {d}}t={\rm {d}}v-{\frac {{\rm {d}}r}{1-2M(v)/r+Q(v)/r^{2}}}.}$

Dabei steht ein konstantes ${\displaystyle u}$ (${\displaystyle {\rm {d}}u=0}$) mit

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}t}}=+\left(1-{\frac {2M(t)}{r}}+{\frac {Q(t)}{r^{2}}}\right)}$

für radial auslaufende Strahlung und

ein konstantes ${\displaystyle v}$ (${\displaystyle {\rm {d}}v=0}$) mit

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}t}}=-\left(1-{\frac {2M(t)}{r}}+{\frac {Q(t)}{r^{2}}}\right)}$

für radial einlaufende Strahlung.

Einzelnachweise

1. Kim, Choi & Yang: Black hole radiation in the Vaidya metric
2. Corvin Zahn: Visualisierung der Relativitätstheorie. Koordinatenfreie und interaktive Werkzeuge. Tübingen 2008 (Volltext [PDF; abgerufen am 8. Dezember 2017] Dissertation).
3. Shaikh, Kundu & Sen: Curvature Properties Of Vaidya Metric
4. Thanu Padmanabhan: Gravitation: Foundation and Frontiers. Cambridge University Press, New York 2010, ISBN 978-0-521-88223-1 (englisch, Volltext in der Google-Buchsuche).