Lokalkompakte Gruppe

Eine lokalkompakte Gruppe i​st in d​er Mathematik e​ine topologische Gruppe, d​eren zugrundeliegende Topologie lokalkompakt ist. Diese Eigenschaft erlaubt es, einige v​om euklidischen Raum bekannte analytische Konzepte a​uf solche allgemeineren Gruppen z​u verallgemeinern. Diese Gruppen, insbesondere i​hre Darstellungen, s​ind Untersuchungsgegenstand d​er harmonischen Analyse.

Definition

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe ${\displaystyle G}$ mit Verknüpfung ${\displaystyle \cdot }$ und neutralem Element ${\displaystyle e}$ versehen mit einer Topologie, sodass sowohl ${\displaystyle \cdot \colon G\times G\to G}$ (mit der Produkttopologie auf ${\displaystyle G\times G}$) als auch die Inversenbildung ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ stetig sind. Ein topologischer Raum heißt lokalkompakt, wenn jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus kompakten Mengen besitzt. Eine lokalkompakte Gruppe lässt sich aber auch mit weniger Voraussetzungen charakterisieren: Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ mit einer Topologie ist genau dann eine lokalkompakte Gruppe, wenn

• die Topologie präregulär ist,
• das neutrale Element ${\displaystyle e}$ eine kompakte Umgebung ${\displaystyle K}$ besitzt und
• die Gruppe eine semitopologische Gruppe bildet, d. h. die Abbildung ${\displaystyle \cdot }$ in beiden Komponenten separat stetig ist, also für jedes ${\displaystyle x\in G}$ die Translationsabbildungen ${\displaystyle y\mapsto x\cdot y}$ und ${\displaystyle y\mapsto y\cdot x}$ stetig sind.

Aufgrund der Stetigkeit der Linkstranslation um ${\displaystyle x}$ ist für jedes ${\displaystyle x\in G}$ die Menge ${\displaystyle xK}$ kompakt und aufgrund der Stetigkeit der Linkstranslation um ${\displaystyle x^{-1}}$ ist ${\displaystyle xK}$ eine Umgebung von ${\displaystyle x}$. Jeder Punkt besitzt also eine kompakte Umgebung; der Raum ist somit aufgrund der Präregularität lokalkompakt. Weitergehende Überlegungen zeigen, dass jede lokalkompakte semitopologische Gruppe tatsächlich eine simultan stetige Verknüpfung ${\displaystyle \cdot \colon G\times G\to G}$ besitzt (also eine paratopologische Gruppe ist) und auch die Inversenbildung stetig ist.[1]

Manche Autoren setzen i​n der Definition s​tets die Hausdorff-Eigenschaft voraus. Es genügt m​eist (insbesondere i​n der Darstellungstheorie), s​ich auf solche Gruppen z​u beschränken. Für j​ede lokalkompakte Gruppe i​st nämlich d​er Kolmogorow-Quotient wiederum e​ine lokalkompakte Gruppe, d​ie im Wesentlichen über dieselben Eigenschaften verfügt. Die Bildung d​es Kolmogorow-Quotienten i​st als Funktor linksadjungiert z​ur Einbettung d​er hausdorffschen lokalkompakten Gruppen i​n die Kategorie d​er lokalkompakten Gruppen (mit stetigen Homomorphismen a​ls Morphismen).

Beispiele

• Jede Gruppe versehen mit der diskreten Topologie oder der Klumpentopologie ist eine lokalkompakte Gruppe. (Letzteres Beispiel erfüllt allerdings nicht das Hausdorff-Axiom, das von einigen Autoren bei der Definition lokalkompakter Gruppen vorausgesetzt wird.)
• Der euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bildet mit der Addition, ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{0\right\}}$ mit der Multiplikation und allgemeiner jede Lie-Gruppe mit der Gruppenmultiplikation eine lokalkompakte Gruppe.
• Für jede Menge ${\displaystyle X}$ bildet ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{X}}$ nach dem Satz von Tichonow mit der elementweisen Addition eine kompakte und somit lokalkompakte Gruppe; für ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$ spricht man von der Cantor-Gruppe.
• Der Körper der p-adische Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ bildet mit der Addition, ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}\setminus \left\{0\right\}}$ mit der Multiplikation eine lokalkompakte Gruppe. Allgemein gilt dies für alle lokalen Körper.
• Ein reeller oder komplexer normierter Vektorraum ist mit der Addition eine topologische Gruppe, die genau dann lokalkompakt ist, wenn der Raum endlichdimensional ist.
• Allgemeiner gilt: Ein mindestens eindimensionaler T₀ topologischer Vektorraum über einem nicht-diskreten topologischen Schiefkörper, der bezüglich der durch die Addition induzierten uniformen Struktur vollständig ist, bildet mit der Addition eine lokalkompakte Gruppe, genau dann wenn er endlichdimensional und der Schiefkörper lokalkompakt ist.[2]
• Auf dem freien Produkt von mindestens zwei nichttrivialen Gruppen, insbesondere auf freien Gruppen, ist jede hausdorffsche lokalkompakte Gruppe diskret.[3]
• Der Kolmogorow-Quotient jeder höchstens abzählbaren lokalkompakten Gruppe ist diskret, dies lässt sich über den Satz von Baire oder Eigenschaften des Haar-Maßes zeigen.

Topologische Eigenschaften

Lokalkompakte Gruppen sind wie jeder lokalkompakte Raum und jede topologische Gruppe vollständig regulär. Darüber hinaus sind sie sogar parakompakt und damit normal.[4] Dies lässt sich aus der uniformen Lokalkompaktheit folgern, d. h. daraus, dass in der von der Gruppenstruktur induzierten links- oder rechtsseitigen uniformen Struktur eine Nachbarschaft ${\displaystyle U}$ existiert, sodass ${\displaystyle U[x]}$ für jedes ${\displaystyle x\in G}$ eine kompakte Umgebung von ${\displaystyle x}$ ist.[5]

Uniformität

Bezüglich d​er linksseitigen u​nd der rechtsseitigen uniformen Struktur s​ind lokalkompakte topologische Gruppen vollständig, d. h. j​eder Cauchy-Filter konvergiert.[6]

Metrisierbarkeit

Für jede topologische Gruppe, ${\displaystyle G}$, sind nach dem Birkhoff-Kakutani Theorem[7][8] folgende Aussagen äquivalent:

1. ${\displaystyle G}$ (ist Hausdorff und) erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom.
2. ${\displaystyle G}$ ist metrisierbar.
3. Es gibt eine unter Linksverschiebungen invariante (kurz: linksinvariante) Metrik auf ${\displaystyle G}$, die die Topologie auf ${\displaystyle G}$ induziert.

Die Idee hinter dem Beweis der nicht trivialen Richtung (1 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 3): Wegen des ersten Azählbarkeitsaxioms und Stetigkeit der Gruppenoperationen lässt sich eine Folge ${\displaystyle (U_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von symmetrischen offenen Umgebungen der Identität ${\displaystyle 1\in G}$ so konstruieren, dass ${\displaystyle U_{n+1}U_{n+1}\subseteq U_{n}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Man definiert ${\displaystyle \delta :G\to [0,1]}$ durch ${\displaystyle \delta (g):=\inf\{2^{-n}\mid n\in \mathbb {N} ,~g\in U_{n}\}}$ sowie eine »Längenfunktion« ${\displaystyle \ell :G\to [0,1]}$ durch ${\displaystyle \ell (g):=\inf\{\sum _{k=1}^{n}\delta _{0}(h_{k})\mid n\in \mathbb {N} ,~h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n}\in G,~\prod _{k=1}^{n}h_{k}=g\}}$ und zeigt, dass die vermöge ${\displaystyle d(g_{1},g_{2}):=\ell (g_{1}^{-1}g_{2})}$ definierte Funktion eine links-invariante kompatible Metrik bildet.

Nun, i​m Falle v​on lokal kompakten Gruppen gelten n​och stärkere Aussagen. Zunächst w​ie bei j​edem regulären Raum besagt d​er Metrisierbarkeitssatz v​on Urysohn, d​ass Metrisierbarkeit a​us Zweitabzählbarkeit folgt. Genauer erfasst s​ind folgende Aussagen äquivalent:

1. ${\displaystyle G}$ ist lokal kompakt Hausdorff und erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
2. ${\displaystyle G}$ ist ein lokal kompakter Polnischer Raum.
3. ${\displaystyle G}$ ist durch eine »echte« Metrik metrisierbar. (Unter einer echten—en: ‘proper’—Metrik versteht man eine Metrik, deren abgeschlossene Kugeln kompakt sind.)
4. Es gibt eine linksinvariante, »echte« Metrik auf ${\displaystyle G}$, die die Topologie auf ${\displaystyle G}$ induziert.

Die Implikationen 4 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 3 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 2 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 1 sind bekannt für alle topologischen Räumen. Die nichttriviale Implikation 1 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 4 wurde erst 1974 von Raimond Struble gezeigt.[9] Einen alternativen Ansatz wurde 2006 von Uffe Haagerup und Agata Przybyszewska demonstriert.[10] Eine Skizze des letzten Ansatzes ist wie folgt: Man wählt irgendeine linksinvariante kompatible Metrik, die laut des Birkhoff-Kakutani Theorems existiert. Wegen lokaler Kompaktheit sind abgeschlossene Kugeln mit genügend kleinem Radius kompakt und nach Normalisierung kann man ohne Einschränkung annehmen, diese seien vom Radius 1. Der algebraische Abschluss der offenen Einheitskugel unter Multiplikation liefert eine offene und deshalb abgeschlossene Untergruppe, ${\displaystyle H}$, von ${\displaystyle G}$, auf der die Metrik »echt« ist. Da ${\displaystyle H}$ offen ist und ${\displaystyle G}$ das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, hat die Untergruppe höchstens abzählbar viele Linksnebenklassen. Man nutzt diese Folge sowie die »echte« Metrik auf ${\displaystyle H}$ aus, um eine »echte« Metrik auf ${\displaystyle G}$ zu konstruieren.

Untergruppen und Quotienten

Eine Untergruppe ${\displaystyle H}$ einer lokalkompakten Gruppe ${\displaystyle G}$ ist genau dann wiederum lokalkompakt, wenn sie abgeschlossen ist. Die Hinrichtung gilt für beliebige Teilmengen lokalkompakter Räume nicht (man betrachte etwa eine nichttriviale offene Teilmenge des euklidischen Raumes). Sie ergibt sich daraus, dass jeder vollständige Teilraum eines uniformen Raumes abgeschlossen ist.[6] Ist ${\displaystyle H}$ abgeschlossen, so ist der Raum der Linksnebenklassen ${\displaystyle G/H}$ mit der Quotiententopologie ein lokalkompakter homogener Raum, auf dem ${\displaystyle G}$ durch Linksmultiplikation operiert. Ist eine abgeschlossene Untergruppe sogar ein Normalteiler, so ist die Quotientengruppe wiederum eine lokalkompakte Gruppe.

Jede lokalkompakte Gruppe besitzt e​ine Untergruppe, d​ie offen (äquivalent dazu: Umgebung d​es neutralen Elements), abgeschlossen (was a​us der Offenheit folgt) u​nd σ-kompakt ist. Sie i​st somit disjunkte Vereinigung σ-kompakter Teilräume (nämlich d​er Linksnebenklassen o​der Rechtsnebenklassen dieser Gruppe) m​it der Summentopologie.[11]

Für jede topologische Gruppe ${\displaystyle G}$ und eine lokalkompakte Untergruppe ${\displaystyle H}$ ist der Raum der Linksnebenklassen ${\displaystyle G/H}$ bezüglich des Quotienten der rechtsseitigen uniformen Struktur von ${\displaystyle G}$ durch ${\displaystyle H}$, d. h. die Finaluniformität bzgl. der kanonischen Surjektion von ${\displaystyle G}$ nach ${\displaystyle G/H}$, vollständig.[12] Für jede diskrete Untergruppe ${\displaystyle H}$ ist eine topologische Gruppe ${\displaystyle G}$ genau dann lokalkompakt, wenn der Raum ${\displaystyle G/H}$ lokalkompakt ist.[13]

Struktur

Jede hausdorffsche lokalkompakte Gruppe lässt sich in einem gewissen Sinne durch Lie-Gruppen approximieren: Jede solche Gruppe ${\displaystyle G}$ besitzt eine offene Untergruppe ${\displaystyle G^{\prime }}$, sodass für jede Umgebung des neutralen Elements eine Teilmenge ${\displaystyle K}$ existiert, die kompakter Normalteiler von ${\displaystyle G^{\prime }}$ ist, sodass ${\displaystyle G^{\prime }/N}$ eine Lie-Gruppe ist.[14] Jede zusammenhängende, hausdorffsche lokalkompakte Gruppe ${\displaystyle G}$ besitzt somit einen kompakten Normalteiler ${\displaystyle K}$, sodass ${\displaystyle G/K}$ eine Lie-Gruppe ist, und ist Untergruppe eines Produktes von Lie-Gruppen.[15]

Schon bevor diese Aussage gezeigt wurde, war bewiesen worden, dass jede zusammenhängende lokalkompakte Gruppe ${\displaystyle G}$, die diese Approximationseigenschaft erfüllt (also jede hausdorffsche, wie man heute weiß) homöomorph zu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times K}$ für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ und eine kompakte Gruppe ${\displaystyle K}$ (mit neutralem Element ${\displaystyle 0}$) ist. Ein Homöomorphismus ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\times K\to G}$ lässt sich so wählen, dass alle Einschränkungen ${\displaystyle \phi {\upharpoonright }\{0\}^{i}\times \mathbb {R} \times \{0\}^{n-i}}$ und ${\displaystyle \phi {\upharpoonright }\{0\}^{n}\times K}$ Isomorphismen topologischer Gruppen sind.[16]

Für zusammenhängende maximal fast-periodische Gruppen, d. h. Gruppen, deren endlichdimensionalen unitären Darstellungen punktetrennend sind, dazu zählen alle abelschen Gruppen, lässt sich sogar ganz ${\displaystyle \phi }$ als Isomorphismus topologischer Gruppen wählen.[17]

Produkte, Limites und Kolimites

Der Vergissfunktor, d​er einer lokalkompakten Gruppe d​ie zugrundeliegende Gruppe zuordnet, besitzt e​ine Links- u​nd eine Rechtsadjunktion, d​er linksadjungierte Funktor stattet d​ie Gruppe m​it der diskreten Topologie, d​er rechtsadjungierte Funktor m​it der Klumpentopologie aus. Somit erhält d​er Vergissfunktor Limites u​nd Kolimites, d. h. j​eder Limes (etwa e​in Produkt) o​der Kolimes (etwa e​in Koprodukt) ist, w​enn er d​enn existiert, d​er entsprechende Limes bzw. Kolimes i​n der Kategorie d​er Gruppen versehen m​it einer geeigneten Topologie.

Die Kategorie der lokalkompakten Gruppen besitzt tatsächlich endliche Produkte und ihre Topologie ist die Produkttopologie. Schränkt man sich auf die Kategorie der hausdorffschen lokalkompakten Gruppen ein (der Vergissfunktor in die Kategorie der Gruppen erhält dann weiterhin Limites), existieren sogar beliebige Faserprodukte (für Morphismen ${\displaystyle f\colon F\to S,g\colon G\to S}$ als Kern von ${\displaystyle F\times G\to S,(x,y)\mapsto f(x)g(x)^{-1}}$) und die entsprechende Kategorie ist endlich vollständig. Die Produkttopologie für ein Produkt unendlich vieler lokalkompakter Gruppen dagegen ist im Allgemeinen nicht mehr lokalkompakt – es ist genau dann lokalkompakt, wenn alle bis auf endlich viele Faktoren kompakt sind.[18] In manchen Fällen erhält man jedoch mit einer feineren Topologie auf dem kartesischen Produkt ein Produkt in der Kategorie der hausdorffschen lokalkompakten Gruppen. Dies ist genau dann der Fall, wenn alle bis auf endlich viele Faktoren einen kompakten, offenen Normalteiler besitzen, sodass der zugehörige Quotient torsionsfrei ist. Die Topologie des kategoriellen Produktes solcher Faktoren ${\displaystyle G_{i}}$ mit kompakten, offenen Normalteilern ${\displaystyle K_{i}}$ lässt sich durch die Forderung charakterisieren, dass das Produkt ${\displaystyle \textstyle \prod _{i}K_{i}}$ mit der Produkttopologie einen offenen Unterraum bilde. Auf dem Produkt ${\displaystyle \textstyle \prod _{i}G_{i}}$ ist die Topologie dann als Summentopologie der Nebenklassen des Normalteilers ${\displaystyle \textstyle \prod _{i}K_{i}}$ gegeben, welche unabhängig von der Wahl der ${\displaystyle K_{i}}$ ist. Zum Beispiel ist das kategorielle Produkt einer beliebigen Familie diskreter, torsionsfreier Gruppen (wie etwa ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) in dieser Kategorie wiederum diskret.[19]

Haarmaß

→ Hauptartikel: Haarmaß

Auf j​eder hausdorffschen lokalkompakten Gruppe existiert e​in bis a​uf Skalierung eindeutiges reguläres Borelmaß, d​as auf nichtleeren offenen Mengen positiv i​st und invariant u​nter Linksverschiebungen ist, d​as sogenannte linke Haarmaß. Analog d​azu existiert d​as rechte Haarmaß, d​as invariant u​nter Rechtsverschiebungen ist. Einen wichtigen Spezialfall lokalkompakter Gruppen m​it besonderen Eigenschaften bilden Gruppen, b​ei denen linkes u​nd rechtes Haarmaß übereinstimmen u​nd somit links- u​nd rechtsinvariant sind, sogenannte unimodulare Gruppen. Das Haarmaß erlaubt d​ie Integration a​uf lokalkompakten Gruppen u​nd spielt e​ine entscheidende Rolle i​n der Darstellungstheorie lokalkompakter Gruppen.

Automatische Stetigkeit von Homomorphismen

Jeder messbare Homomorphismus zwischen lokalkompakten Gruppen i​st stetig. Die Bedingung k​ann weiter abgeschwächt werden, d​ass nur d​ie Urbilder offener Mengen messbar s​ein mögen u​nd dass d​ie Homomorphie a​uf gewissen Nullmengen n​icht garantiert s​ein muss.[20]

Darstellungen

Für eine lokalkompakte Gruppe ${\displaystyle G}$ und einen Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ist eine unitäre Darstellung von ${\displaystyle G}$ ein stetiger Homomorphismus ${\displaystyle \pi \colon G\to U({\mathcal {H}})}$, wobei ${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$ die unitäre Gruppe ausgestattet mit der starken (oder der übereinstimmenden schwachen) Operatortopologie bezeichne. Einige zentrale Sätze der harmonischen Analyse erlauben mittels Betrachtung solcher Darstellung weitreichende Verallgemeinerungen der Fourier-Transformation auf Funktionen auf bestimmten lokalkompakten Gruppen.

Siehe auch

• Gruppen-C*-Algebra
• Satz von der offenen Abbildung (Lokalkompakte Gruppen)

Literatur

• Markus Stroppel: Locally Compact Groups. European Mathematical Society, 2006, ISBN 3-03719-016-7.
• Yves de Cornulier, Pierre de la Harpe: Metric geometry of locally compact groups. normalesup.org (PDF; 1,9 MB).

Einzelnachweise

1. Ahmed Bouziad: Every Čech-Analytic Baire Semitopological Group is a Topological Group. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 124, Nr. 3. American Mathematical Society, 1996, ISSN 0002-9939, doi:10.1090/S0002-9939-96-03384-9.
2. Nicolas Bourbaki: V. Topological Vector Spaces (= Elements of Mathematics). Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-42338-9, I, S. 15 (Originaltitel: Éspaces vectoriels topologiques. Paris 1981. Übersetzt von H. G. Eggleston und S. Madan).
3. Sidney Allen Morris, Peter Nickolas: Locally compact group topologies on an algebraic free product of groups. In: Journal of Algebra. Band 38, Nr. 2. Academic Press, 1976, ISSN 0021-8693, S. 393–397, doi:10.1016/0021-8693(76)90229-5.
4. Nicolas Bourbaki: Topologie Générale (= Éléments de mathématique). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-33936-1, Kap. 3, S. 35.
5. John L. Kelley: General Topology. Springer, New York 1955, ISBN 0-387-90125-6, S. 214–215.
6. Bourbaki: Topologie Générale, Kapitel 3, S. 22.
7. G Birkhoff: A note on topological groups. In: Compositio Mathematica. 3, 1936, S. 427–430.
8. S Kakutani: Über die Metrisation der topologischen Gruppen. In: Proc. Imp. Acad.. 12, 1936, S. 82–84.
9. Raimond A. Struble: Metrics in locally compact groups. In: Compositio Mathematica. 28, Nr. 3, 1974, S. 217–222.
10. Uffe Haagerup, Agata Przybyszewska: Proper metrics on locally compact groups, and proper affine isometric actions on. In: arxiv Operator Theory. 2006.
11. Gerald Budge Folland: A Course in Abstract Harmonic Analysis. CRC Press, 1995, ISBN 0-8493-8490-7, S. 33.
12. Walter Roelcke, Susanne Dierolf: Uniform structures on topological groups and their quotients. McGraw-Hill, ISBN 0-07-053412-8, S. 199 (books.google.de).
13. Roelcke, Dierolf, S. 95.
14. Hidehiko Yamabe: A Generalization of A Theorem of Gleason. In: Annals of Mathematics. Band 58, Nr. 2, 1953, ISSN 0003-486X, S. 351–365, JSTOR:1969792.
15. Sidney Allen Morris: Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups. Cambridge University Press, Cambridge 1977, ISBN 978-0-521-21543-5, S. 125.
16. Iwasawa Kenkichi: On Some Types of Topological Groups. In: Annals of Mathematics. Band 50, Nr. 3, 1949, ISSN 0003-486X, S. 507–558, JSTOR:1969548.
17. Morris: Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups. S. 117.
18. Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, 1970, S. 131.
19. Karl Heinrich Hofmann, Sidney Allen Morris: Locally compact products and coproducts in categories of topological groups. In: Bulletin of the Australian Mathematical Society. Band 17, Nr. 3. Australian Mathematical Society, 1977, ISSN 0004-9727, S. 401–417, doi:10.1017/S0004972700010674.
20. Adam Kleppner: Measurable Homomorphisms of Locally Compact Groups. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 106, Nr. 2. American Mathematical Society, 1989, ISSN 0002-9939, S. 391–395, JSTOR:2048818.