Kern (Algebra)

Der Kern einer Abbildung dient in der Algebra dazu, anzugeben, wie stark die Abbildung von der Injektivität abweicht. Dabei ist die genaue Definition abhängig davon, welche algebraischen Strukturen betrachtet werden. So besteht beispielsweise der Kern einer linearen Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to W}$ zwischen Vektorräumen ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ aus denjenigen Vektoren in ${\displaystyle V}$, die auf den Nullvektor in ${\displaystyle W}$ abgebildet werden; er ist also die Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung ${\displaystyle f(x)=0}$ und wird hier auch Nullraum genannt. In diesem Fall ist ${\displaystyle f}$ genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor in ${\displaystyle V}$ besteht. Analoge Definitionen gelten für Gruppen- und Ringhomomorphismen. Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz.

Definition

• Ist ${\displaystyle f\colon G\rightarrow H}$ ein Gruppenhomomorphismus, so wird die Menge

${\displaystyle \operatorname {Kern} f:=\{g\in G\mid f(g)=e_{H}\in H\}}$

aller Elemente von ${\displaystyle G}$, die auf das neutrale Element ${\displaystyle e_{H}}$ von ${\displaystyle H}$ abgebildet werden, Kern von ${\displaystyle f}$ genannt. Er ist ein Normalteiler in ${\displaystyle G}$.

• Ist ${\displaystyle f\colon V\to W}$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen (oder allgemeiner ein Modulhomomorphismus), dann heißt die Menge

${\displaystyle \operatorname {Kern} f:=\{v\in V\mid f(v)=0\in W\}}$

der Kern von ${\displaystyle f}$. Er ist ein Untervektorraum (allgemeiner ein Untermodul) von ${\displaystyle V}$.

• Ist ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ein Ringhomomorphismus, so ist die Menge

${\displaystyle \operatorname {Kern} f:=\{a\in A\mid f(a)=0\}}$

der Kern von ${\displaystyle f}$. Er ist ein zweiseitiges Ideal in ${\displaystyle A}$.

Im Englischen wird statt ${\displaystyle \operatorname {Kern} }$ auch ${\displaystyle \ker }$ oder ${\displaystyle \operatorname {Ker} }$ (für engl. kernel) geschrieben.

Bedeutung

Der Kern e​ines Gruppenhomomorphismus enthält i​mmer das neutrale Element, d​er Kern e​iner linearen Abbildung enthält i​mmer den Nullvektor. Enthält e​r nur d​as neutrale Element bzw. d​en Nullvektor, s​o nennt m​an den Kern trivial.

Eine lineare Abbildung bzw. e​in Homomorphismus i​st genau d​ann injektiv, w​enn der Kern n​ur aus d​em Nullvektor bzw. d​em neutralen Element besteht (also trivial ist).

Der Kern i​st von zentraler Bedeutung i​m Homomorphiesatz.

Beispiel (lineare Abbildung von Vektorräumen)

Wir betrachten die lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$, die durch

${\displaystyle f(x)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}}$

definiert ist. Die Abbildung ${\displaystyle f}$ bildet genau die Vektoren der Form

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}},\lambda \in \mathbb {R} }$

auf den Nullvektor ab und andere nicht. Der Kern von ${\displaystyle f}$ ist also die Menge

${\displaystyle \operatorname {Kern} f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}},\lambda \in \mathbb {R} \right\}}$.

Geometrisch ist der Kern in diesem Fall eine Gerade (die ${\displaystyle z}$-Achse) und hat demnach die Dimension 1. Die Dimension des Kerns wird auch als Defekt bezeichnet und kann mit Hilfe des Rangsatzes explizit berechnet werden.

Verallgemeinerungen

Universelle Algebra

In der universellen Algebra ist der Kern einer Abbildung ${\displaystyle f\colon A\to B}$ die durch ${\displaystyle f}$ induzierte Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle A}$, also die Menge ${\displaystyle \operatorname {Kern} (f):=\{(x,y)\in A\times A\mid f(x)=f(y)\}}$. Wenn ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ algebraische Strukturen gleichen Typs sind (zum Beispiel ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sind Verbände) und ${\displaystyle f}$ ein Homomorphismus von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$ ist, dann ist die Äquivalenzrelation ${\displaystyle \operatorname {Kern} (f)}$ auch eine Kongruenzrelation. Umgekehrt zeigt man auch leicht, dass jede Kongruenzrelation Kern eines Homomorphismus ist. Die Abbildung ${\displaystyle f}$ ist genau dann injektiv, wenn ${\displaystyle \operatorname {Kern} (f)}$ die Identitätsrelation ${\displaystyle \{(a,a)\mid a\in A\}}$ auf ${\displaystyle A}$ ist.

Kategorientheorie

In einer Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mit Nullobjekten ist ein Kern eines Morphismus ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ der Differenzkern des Paares ${\displaystyle (f,0)}$, das heißt charakterisiert durch die folgende universelle Eigenschaft:

• Für die Inklusion ${\displaystyle i\colon \operatorname {Kern} f\to X}$ gilt ${\displaystyle fi=0}$.
• Ist ${\displaystyle t\colon T\to X}$ ein Morphismus, so dass ${\displaystyle ft=0}$ ist, so faktorisiert ${\displaystyle t}$ eindeutig über ${\displaystyle \operatorname {Kern} f}$.

Abstrakter formuliert bedeutet das, dass der Kern sich aus dem universellen Morphismus vom Einbettungsfunktor von ${\displaystyle ({\mathcal {C}}\downarrow 0)}$ in ${\displaystyle ({\mathcal {C}}\downarrow {\mathcal {C}})}$ zum ${\displaystyle f}$ entsprechenden Objekt ergibt.

Kokern

Der Kokern, Alternativschreibweise Cokern, i​st der d​uale Begriff z​um Kern.

Ist ${\displaystyle f\colon V\to W}$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen über einem Körper, so ist der Kokern von ${\displaystyle f}$ der Quotient von ${\displaystyle W}$ nach dem Bild von ${\displaystyle f}$.

Entsprechend i​st der Kokern für Homomorphismen abelscher Gruppen o​der Moduln über e​inem Ring definiert.

Der Kokern mit der Projektion ${\displaystyle q\colon W\to \operatorname {coker} f}$ erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Jeder Homomorphismus ${\displaystyle t\colon W\to T}$, für den ${\displaystyle tf=0}$ gilt, faktorisiert eindeutig über ${\displaystyle q}$ und es gilt ${\displaystyle qf=0}$. Er ergibt sich in einer Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mit Nullobjekten aus dem universellen Morphismus vom ${\displaystyle f}$ entsprechenden Objekt zum Einbettungsfunktor von ${\displaystyle (0\downarrow {\mathcal {C}})}$ in ${\displaystyle ({\mathcal {C}}\downarrow {\mathcal {C}})}$.

Diese Eigenschaft i​st auch d​ie Definition für d​en Kokern i​n beliebigen Kategorien m​it Nullobjekten. In abelschen Kategorien stimmt d​er Kokern m​it dem Quotienten n​ach dem Bild überein.

Weblinks

• Den Kern einer Matrix berechnen (Beispiel) (Memento vom 4. März 2016 im Internet Archive)