Umgebungsbasis

Als Umgebungsbasis bezeichnet man in der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ein spezielles Mengensystem. Über die Eigenschaften von Umgebungsbasen lassen sich spezielle Klassen von topologischen Räumen wie lokalkompakte Räume und lokalkonvexe Räume definieren. Außerdem greift das erste Abzählbarkeitsaxiom auf die Mächtigkeit der Umgebungsbasis zurück und impliziert damit grundlegende strukturelle topologische Eigenschaften. Wichtiger Spezialfall von Umgebungsbasen sind Nullumgebungsbasen.

Definition

Gegeben sei ein Topologischer Raum und darin ein .

Dann heißt e​ine Familie

von Umgebungen von eine Umgebungsbasis von , wenn jede Umgebung von Obermenge einer der Mengen für mindestens ein ist.

Beispiele

Betrachtet man den , versehen mit einer beliebigen Norm , so ist

die offene Kugel mit Radius um den Punkt . Eine Umgebungsbasis bezüglich der Normtopologie wird dann gebildet von

.

In diesem Fall lässt s​ich auch e​ine abzählbare Umgebungsbasis definieren durch

.

Analog lässt sich in jedem metrischen Raum eine (abzählbare) Umgebungsbasis bezüglich der von der Metrik erzeugten Topologie über die offenen Kugeln

definieren.

Spezialfall Nullumgebungsbasis

Liegt ein topologischer Vektorraum vor, so wird eine aus Umgebungen von bestehende Umgebungsbasis auch als Nullumgebungsbasis bezeichnet. Für jeden Punkt und jede derartige Nullumgebungsbasis gewinnt man eine Umgebungsbasis von durch Translation:

Verwandte Begriffe

Als Umgebungsfilter oder Umgebungssystem von wird die Menge aller Umgebungen von bezeichnet. Der Umgebungsfilter von ist folglich die größtmögliche Umgebungsbasis von und dem Namen entsprechend ein Filter.

Eigenschaften

Besitzt e​in topologischer Raum e​ine höchstens abzählbare Umgebungsbasis, s​o sagt man, d​ass er d​as erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Solche Räume s​ind aus mathematischer Sicht "klein" u​nd leichter z​u handhaben.

Literatur

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