Satz von der offenen Abbildung (Lokalkompakte Gruppen)

Der Satz v​on der offenen Abbildung i​n der mathematischen Theorie d​er lokalkompakten Gruppen besagt, d​ass ein Gruppenhomomorphismus i​n einer bestimmten Situation automatisch o​ffen ist.

Begriffe

Eine lokalkompakte Gruppe i​st eine topologische Gruppe, d​ie als topologischer Raum e​in lokalkompakter Hausdorffraum ist. Ein solcher Raum heißt σ-kompakt o​der abzählbar i​m Unendlichen, w​enn er d​ie abzählbare Vereinigung kompakter Teilmengen ist. Gruppenhomomorphismen zwischen topologischen Gruppen heißen stetig bzw. offen, w​enn sie a​ls Abbildungen zwischen d​en topologischen Räumen stetig bzw. o​ffen sind.

Formulierung des Satzes

Es seien ${\displaystyle G}$ eine σ-kompakte, lokalkompakte Gruppe und ${\displaystyle f\colon G\rightarrow H}$ ein stetiger, surjektiver Gruppenhomomorphismus auf eine lokalkompakte Gruppe ${\displaystyle H}$. Dann ist ${\displaystyle f}$ offen.[1][2][3]

Beispiele

• Die Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {T}$ :=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\},\quad t\mapsto e^{\mathrm {i} t}}

ist ein stetiger, surjektiver Gruppenhomomorphismus, wenn man ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der Addition und ${\displaystyle \mathbb {T} }$ mit der Multiplikation als Gruppenstruktur versieht und sie die üblichen Topologien tragen. Nach obigem Satz ist ${\displaystyle f}$ offen.

• Sei ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit der Matrizenmultiplikation als Gruppenstruktur. Dann ist die Determinante

${\displaystyle \det \colon \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )\rightarrow \mathbb {R} ^{*}:=\mathbb {R} \setminus \{0\},\quad A\mapsto \det(A)}$

wegen des Determinantenmultiplikationssatzes ein Gruppenhomomorphismus, wenn man auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ die Multiplikation betrachtet. Die Determinante ist stetig, denn sie ist nach der Leibniz-Formel nur aus Summen von Produkten der Matrixkomponenten aufgebaut. Die Determinate ist offenbar auch surjektiv, denn ist ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{*}}$, so bildet die Determinante die Diagonalmatrix mit der Diagonalen ${\displaystyle (t,1,\dotsc ,1)}$ auf ${\displaystyle t}$ ab. ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ sind als offene Teilmengen der lokalkompakten Räume ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ und ${\displaystyle \mathbb {R} }$ wieder lokalkompakt, und leicht überlegt man sich, dass ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ sogar σ-kompakt ist. Damit kann man obigen Satz anwenden und erhält, dass die angegebene Determinantenabbildung offen ist.

• Sei ${\displaystyle \mathbb {R} }$ die additive Gruppe mit der üblichen Topologie und ${\displaystyle \mathbb {R} _{d}}$ die Gruppe der reellen Zahlen mit der diskreten Topologie. Beides sind offenbar lokalkompakte Gruppen, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist σ-kompakt, ${\displaystyle \mathbb {R} _{d}}$ hingegen nicht. Daher kann man den Satz nicht auf den stetigen, surjektiven Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \mathrm {id_{\mathbb {R} }} \colon \mathbb {R} _{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ anwenden und tatsächlich ist diese Abbildung auch nicht offen. Also kann man in obigem Satz nicht auf die Voraussetzung der σ-Kompaktheit verzichten.[4]

Einzelnachweise

1. J. Hilgert, K.-H. Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg-Verlag (1991), ISBN 978-3-528-06432-7
2. Markus Stroppel: Locally Compact Groups, European Mathematical Society 2006, ISBN 3-03719-016-7, Satz 6.19
3. Sidney A. Morris: Pontryagin Duality and the Structure of locally compact abelian groups, Cambridge University Press, ISBN 0-5212-1543-9, Kap. 1, Theorem 3
4. Markus Stroppel: Locally Compact Groups, European Mathematical Society 2006, ISBN 3-03719-016-7, Beispiel 6.20