Homogener Raum

Ein homogener Raum (seltener Kleinscher Raum o​der Kleinsche Geometrie n​ach Felix Klein) i​st in d​er Mathematik e​in Raum m​it einer transitiven Gruppenwirkung. Die entsprechende Gruppe w​ird Bewegungsgruppe genannt.

Anschaulich bedeutet diese Homogenität, dass der Raum „in jedem Punkt gleich aussieht“. Beispielsweise sind zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeiten homogen, denn zu je zwei Punkten gibt es einen Diffeomorphismus, der auf abbildet. Eine wichtige Klasse der homogenen Räume sind die Riemannschen homogenen Räume.

Definition

Sei eine Menge, auf der die Gruppe transitiv operiert. Das heißt, es gibt eine Abbildung

mit folgenden Eigenschaften:

  • Für alle und alle gilt
.
  • Für alle gilt:
,
wobei das neutrale Element ist.
  • Für alle gibt es ein mit
.

Das Tupel heißt dann homogener Raum und nennt man die Bewegungsgruppe des homogenen Raums.[1]

Beispiele

Oft h​at die zugrundeliegende Menge d​es homogenen Raums e​ine zusätzliche Struktur, e​twa im Rahmen d​er mathematischen Teilgebiete Gruppentheorie, Topologie o​der Riemannschen Differentialgeometrie.

Nebenklassenraum

Ein Beispiel eines homogenen Raums ist die Menge aller Linksnebenklassen einer Gruppe mit einer Untergruppe . Die Gruppe operiert durch

auf , wodurch zu einem homogenen Raum wird.[1]

Riemannscher homogener Raum

Oft sind Riemannsche homogene Räume gemeint, wenn von homogenen Räumen die Rede ist. Hier gibt es zu je zwei Punkten eine Isometrie, die auf abbildet. Riemannsche homogene Räume sind eine wichtige Klasse von Beispielen in der Riemannschen Geometrie. Ihre Krümmung kann oft mit algebraischen Methoden berechnet werden.

Eigenschaften

Falls die transitiv wirkende Gruppe endlich ist, gilt für die Mächtigkeit der Menge

,

wobei den Stabilisator eines (beliebigen) Elements bezeichnet.

Siehe auch

Literatur

  • Kai Köhler: Differentialgeometrie und homogene Räume. S. 151 ff., Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-1569-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • Jeff Cheeger, David G. Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry. North-Holland Mathematical Library, Vol. 9. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-Oxford; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York 1975.

Einzelnachweise

  1. Homogener Raum. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. The authors of the article are listed here. Additional terms may apply for the media files, click on images to show image meta data.