Homogener Raum

Ein homogener Raum (seltener Kleinscher Raum o​der Kleinsche Geometrie n​ach Felix Klein) i​st in d​er Mathematik e​in Raum m​it einer transitiven Gruppenwirkung. Die entsprechende Gruppe w​ird Bewegungsgruppe genannt.

Anschaulich bedeutet diese Homogenität, dass der Raum „in jedem Punkt gleich aussieht“. Beispielsweise sind zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeiten homogen, denn zu je zwei Punkten ${\displaystyle x,y}$ gibt es einen Diffeomorphismus, der ${\displaystyle x}$ auf ${\displaystyle y}$ abbildet. Eine wichtige Klasse der homogenen Räume sind die Riemannschen homogenen Räume.

Definition

Sei ${\displaystyle M}$ eine Menge, auf der die Gruppe ${\displaystyle G}$ transitiv operiert. Das heißt, es gibt eine Abbildung

${\displaystyle G\times M\to M}$

${\displaystyle (g,x)\mapsto gx}$

mit folgenden Eigenschaften:

• Für alle ${\displaystyle g,h\in G}$ und alle ${\displaystyle x\in M}$ gilt

${\displaystyle (gh)x=g(hx)}$.

• Für alle ${\displaystyle x\in M}$ gilt:

${\displaystyle ex=x}$,

wobei ${\displaystyle e\in G}$ das neutrale Element ist.

• Für alle ${\displaystyle x,y\in M}$ gibt es ein ${\displaystyle g\in G}$ mit

${\displaystyle y=gx}$.

Das Tupel ${\displaystyle (M,G)}$ heißt dann homogener Raum und ${\displaystyle G}$ nennt man die Bewegungsgruppe des homogenen Raums.[1]

Beispiele

Oft h​at die zugrundeliegende Menge d​es homogenen Raums e​ine zusätzliche Struktur, e​twa im Rahmen d​er mathematischen Teilgebiete Gruppentheorie, Topologie o​der Riemannschen Differentialgeometrie.

Nebenklassenraum

Ein Beispiel eines homogenen Raums ist die Menge ${\displaystyle G/H}$ aller Linksnebenklassen ${\displaystyle xH}$ einer Gruppe ${\displaystyle G}$ mit einer Untergruppe ${\displaystyle H\leq G}$. Die Gruppe ${\displaystyle G}$ operiert durch

${\displaystyle g(xH)=(gx)H}$

auf ${\displaystyle G/H}$, wodurch ${\displaystyle (G/H,G)}$ zu einem homogenen Raum wird.[1]

Riemannscher homogener Raum

→ Hauptartikel: Riemannscher homogener Raum

Oft sind Riemannsche homogene Räume gemeint, wenn von homogenen Räumen die Rede ist. Hier gibt es zu je zwei Punkten ${\displaystyle x,y}$ eine Isometrie, die ${\displaystyle x}$ auf ${\displaystyle y}$ abbildet. Riemannsche homogene Räume sind eine wichtige Klasse von Beispielen in der Riemannschen Geometrie. Ihre Krümmung kann oft mit algebraischen Methoden berechnet werden.

Eigenschaften

Falls die transitiv wirkende Gruppe ${\displaystyle G}$ endlich ist, gilt für die Mächtigkeit der Menge ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \vert M\vert ={\frac {\vert G\vert }{\vert G_{x}\vert }}}$,

wobei ${\displaystyle G_{x}}$ den Stabilisator eines (beliebigen) Elements ${\displaystyle x\in M}$ bezeichnet.

Siehe auch

• Erlanger Programm

Literatur

• Kai Köhler: Differentialgeometrie und homogene Räume. S. 151 ff., Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-1569-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
• Jeff Cheeger, David G. Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry. North-Holland Mathematical Library, Vol. 9. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-Oxford; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York 1975.

Einzelnachweise

1. Homogener Raum. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.