Vollständige Kategorie

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist eine vollständige Kategorie eine Kategorie, die alle kleinen Limiten besitzt. Das heißt, dass für jede kleine Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ und jeden Funktor ${\displaystyle D:{\mathcal {I}}\to {\mathcal {C}}}$ in der Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ der Limes von ${\displaystyle D}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ existiert.[1]

Dual dazu heißt eine Kategorie kovollständig, falls sie alle kleinen Kolimiten besitzt.[2] Das ist gleichbedeutend damit, dass die duale Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ vollständig ist.

Existieren alle Limiten (bzw. Kolimiten) für eine feste kleine Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, so sagt man, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sei ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-vollständig (bzw. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-kovollständig).

Ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-vollständig (bzw. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-kovollständig) für alle endlichen Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, so nennt man ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ endlich vollständig (bzw. endlich kovollständig).[3]

Beispiele

• Die Kategorie ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ aller Mengen ist vollständig[4] und kovollständig[5].
• Jede Kategorie algebraischer Strukturen mit endlichstelligen Verknüpfungen ist vollständig und kovollständig. Darunter fallen beispielsweise Gruppen, abelsche Gruppen[6][7], Ringe und kommutative Ringe.
• Ist ${\displaystyle R}$ ein Ring, so ist die Kategorie der ${\displaystyle R}$-Linksmoduln vollständig und kovollständig.
• Die Kategorie ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ aller topologischen Räume ist vollständig[8] und kovollständig[9].
• Ist ${\displaystyle \mathbf {Ord} }$ die Klasse aller Ordinalzahlen, so erhält man daraus eine Kategorie mit ${\displaystyle \mathbf {Ord} }$ als Klasse der Objekte. Die Morphismen sind die bestehenden Relationen ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ zwischen zwei Ordinalzahlen, d. h. ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\alpha ,\beta )}$ ist eine einelementige Menge, falls ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$, anderenfalls leer. Dann ist diese Kategorie kovollständig aber nicht vollständig.[10]
• Die Kategorie der endlichen Mengen ist endlich vollständig und endlich kovollständig, aber weder vollständig noch kovollständig.
• Es sei ${\displaystyle \mathbf {2} }$ die kleine Kategorie mit zwei Objekten 0 und 1 und drei Morphismen, nämlich den beiden Identitäten und einem weiteren Morphismus ${\displaystyle 0\rightarrow 1}$. Dann ist jede Kategorie ${\displaystyle \mathbf {2} }$-vollständig.[11]
• Für die leere Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\emptyset }$ gilt: Eine Kategorie ist genau dann ${\displaystyle \emptyset }$-vollständig, wenn sie ein terminales Objekt besitzt. Ganz ähnlich kann man die Existenz von endlichen Produkten oder Pullbacks als geeignete ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-Vollständigkeiten beschreiben.[12]

Vollständigkeit und Kovollständigkeit

In obiger Beispielliste fällt auf, d​ass Vollständigkeit u​nd Kovollständigkeit für d​ie gängigen Kategorien einhergehen, d​as Ausnahmebeispiel d​er Ordinalzahlen w​irkt konstruiert. Tatsächlich besteht folgender e​nger Zusammenhang:[13]

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine vollständige Kategorie mit folgenden beiden Eigenschaften:

• Für jedes Objekt ${\displaystyle C}$ ist die Klasse der Unterobjekte (Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel ${\displaystyle C}$) eine Menge.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ hat einen Koseparator ${\displaystyle S}$, das heißt zu je zwei verschiedenen Morphismen ${\displaystyle f,g:A\rightarrow B}$ gibt es einen Morphismus ${\displaystyle h:B\rightarrow S}$ mit ${\displaystyle h\circ f\not =h\circ g}$.

Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ kovollständig (und ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ erfüllt auch die erste der Eigenschaften).

Einzelnachweise

1. Nlab: complete category, abgerufen am 3. Januar 2021.
2. Nlab: cocomplete category, abgerufen am 3. Januar 2021.
3. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 23.1
4. Nlab: complete category, examples, abgerufen am 3. Januar 2021.
5. Nlab: cocomplete category, examples, abgerufen am 3. Januar 2021.
6. Nlab: complete category, examples, abgerufen am 3. Januar 2021.
7. Nlab: cocomplete category, examples, abgerufen am 3. Januar 2021.
8. Nlab: complete category, examples, abgerufen am 3. Januar 2021.
9. Nlab: cocomplete category, examples, abgerufen am 3. Januar 2021.
10. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiel 23.10 (1)
11. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiel 23.2 (1)
12. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiel 23.2
13. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Theorem 23.14