Limes (Kategorientheorie)

In d​er Algebra o​der allgemeiner d​er Kategorientheorie i​st der projektive Limes (oder inverse Limes o​der einfach Limes) e​ine Konstruktion, m​it der m​an verschiedene i​n gewisser Weise zusammengehörende Strukturen verbinden kann. Das Ergebnis dieses Verbindungsvorgangs w​ird vor a​llem bestimmt v​on Abbildungen zwischen diesen Strukturen.

Projektive Limites für Mengen und einfache algebraische Strukturen

Die folgende Konstruktion definiert d​en Limes für Mengen o​der beliebige algebraische Strukturen, d​ie mithilfe v​on Limites (Produkten, Endobjekten, Differenzkernen) definiert sind. Als Beispiel werden Gruppen behandelt.

Gegeben seien eine halbgeordnete Menge ${\displaystyle (I,>)}$,[1] für jedes ${\displaystyle i\in I}$ eine Gruppe ${\displaystyle X_{i}}$ und für je zwei Indizes ${\displaystyle i,j\in I}$ mit ${\displaystyle i>j}$ ein Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle f_{ij}\colon X_{i}\to X_{j}.}$

Diese Homomorphismen seien außerdem verträglich in dem Sinne, dass für ${\displaystyle i>j>k}$ gilt:

${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$

(„um von ${\displaystyle i}$ nach ${\displaystyle k}$ zu kommen, kann man auch einen Umweg über ${\displaystyle j}$ nehmen“).

Der projektive Limes ${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}X_{i}}$ ist die Menge aller Familien ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ mit ${\displaystyle x_{i}\in X_{i}}$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle f_{ij}(x_{i})\,=\,x_{j}}$ für ${\displaystyle i>j}$.

Durch die komponentenweise Definition seiner Verknüpfung über die Verknüpfungen in den Komponenten ${\displaystyle X_{i}}$ wird ${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}X_{i}}$ zu einer Gruppe.

Die universelle Eigenschaft

Der projektive Limes ${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}X_{i}}$ zusammen mit den Homomorphismen

${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}\colon \varprojlim _{i\in I}X_{i}\to X_{i},\quad (x_{j})_{j\in I}\mapsto x_{i},}$

den kanonischen Projektionen, h​at die folgende universelle Eigenschaft:

Für jede Gruppe ${\displaystyle T}$ und Homomorphismen ${\displaystyle t_{i}\colon T\to X_{i}}$, für die ${\displaystyle t_{j}=f_{ij}\circ t_{i}}$ für alle ${\displaystyle i>j}$ gilt, existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus ${\displaystyle c\colon T\to \varprojlim _{i\in I}X_{i}}$, so dass ${\displaystyle t_{i}=\mathrm {pr} _{i}\circ c}$ gilt.

Kommutatives Diagramm zur Definition des Limes in der Kategorientheorie

Projektive Limites in beliebigen Kategorien

Mithilfe des Begriffs des projektiven Limes für Mengen kann man projektive Limites in beliebigen Kategorien definieren: Sind Objekte ${\displaystyle X_{i}}$ einer Kategorie ${\displaystyle C}$ und Übergangsmorphismen ${\displaystyle f_{i,j}}$ gegeben, so ist der Limes dieses projektiven Systems charakterisiert durch eine natürliche Äquivalenz

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(T,\lim X_{i})=\lim \operatorname {Hom} _{C}(T,X_{i})}$

von Funktoren in ${\displaystyle T}$; dabei ist der Limes auf der rechten Seite der bereits definierte Limesbegriff für Mengen. Der derartig definierte Limes erfüllt die analoge universelle Eigenschaft.

Für "einfache" algebraische Strukturen w​ie Vektorräume, Gruppen o​der Ringe stimmt dieser Limesbegriff m​it dem o​ben definierten, mengenbasierten überein.

Es gibt jedoch Kategorien, in denen projektive Limites nicht existieren, beispielsweise die Kategorie der endlichen abelschen Gruppen: Es sei ${\displaystyle (X_{i},f_{i,j})}$ das projektive System

${\displaystyle \ldots \to (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{3}\to (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{2}\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

mit der Projektion auf die ersten Faktoren als Übergangsabbildungen. Für ${\displaystyle T:=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ist

${\displaystyle \lim \operatorname {Hom} (T,X_{i})}$

unendlich, a​lso nicht gleich

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,L)}$

für irgendeine endliche abelsche Gruppe ${\displaystyle L}$.

Beispiele

• In der Kategorie der topologischen Räume gibt es Limites: Der mengenbasierte Limes war konstruiert als eine Teilmenge des kartesischen Produktes. Versieht man das Produkt mit der Produkttopologie und den Mengen-Limes mit der Teilraumtopologie, erhält man den kategoriellen Limes. Sind alle ${\displaystyle A_{i}}$ kompakt und hausdorffsch, dann ist der projektive Limes ${\displaystyle A}$ ebenfalls kompakt und hausdorffsch.
• Jede kompakte topologische Gruppe ist projektiver Limes von kompakten Lie-Gruppen.
• Für ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ist der Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ der p-adischen ganzen Zahlen der projektive Limes der Restklassenringe ${\displaystyle X_{i}\;:=\;\mathbb {Z} /p^{i}}$, wobei die halbgeordnete Indexmenge ${\displaystyle I\;:=\;\mathbb {N} }$ mit der natürlichen Ordnung versehen ist und die Morphismen die Restklassenabbildungen sind. Die natürliche Topologie auf ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ist die von der diskreten Topologie auf den ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{i}}$ induzierte Produkttopologie, und ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist dicht in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.
• → Hauptartikel: Proendliche Zahl

Die proendliche Vervollständigung ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$ des Rings der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist der projektive Limes der Restklassenringe ${\displaystyle X_{m}\;:=\;\mathbb {Z} /m}$, wobei die Indexmenge ${\displaystyle I\;:=\;\mathbb {N} }$ mit der Halbordnung der Teilbarkeit versehen ist und die Morphismen die Restklassenabbildungen sind. Genauer: Sind ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle m\mid n}$, dann sind die Restklassenabbildungen ${\displaystyle f_{nm}\colon \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m}$ wie oben ein verträgliches System von Homomorphismen. ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$ erweist sich als das direkte Produkt ${\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }\mathbb {Z} _{p}}$ (Addition und Multiplikation gehen komponentenweise – letztere mit Nullteilern).
Die natürliche Topologie auf ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$ ist die von der diskreten Topologie auf den ${\displaystyle \mathbb {Z} /m}$ induzierte Produkttopologie, und ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist dicht in ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$.

Beweis der Dichtheit von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ in ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$

Für die Zwecke des Beweises werden die Primzahlen durchnummeriert: ${\displaystyle \{p_{i}\mid i\in \mathbb {N} \}:=\mathbb {P} }$. Die Einbettung ${\displaystyle \iota \colon \mathbb {Z} \to {\hat {\mathbb {Z} }}}$ wirft eine ganze Zahl ${\displaystyle m}$ in jedem Faktorraum ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p_{i}}}$ an die Stelle ${\displaystyle m}$:      ${\displaystyle \iota (m)=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle x_{i}:=m\;\forall i\in \mathbb {N} .}$ Sei ${\displaystyle x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ ein Element aus ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$. Für jedes ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ist ${\displaystyle x_{i}=:\sum _{\nu =0}^{\infty }{x_{i,\nu }\,p_{i}^{\nu }}\;\in \;\mathbb {Z} _{p_{i}}}$ eine ${\displaystyle p_{i}}$-adische ganze Zahl. Die approximierende Folge sei ${\displaystyle (y_{n})_{n\geq 1}}$ mit ${\displaystyle y_{n}\in \mathbb {Z} }$. Ein Folgenglied ${\displaystyle y_{n}}$ approximiert ${\displaystyle x}$ mit der Approximationsgüte ${\displaystyle n}$, wenn die folgenden Kongruenzen für ${\displaystyle 1,\ldots ,i,\ldots ,n}$      ${\displaystyle {\begin{array}{llll}y_{n}&\equiv \sum _{\nu =0}^{n-1}&{x_{1,\nu }\,p_{1}^{\nu }}&\operatorname {mod} p_{1}^{n}\\y_{n}&\equiv \sum _{\nu =0}^{n-i}&{x_{i,\nu }\,p_{i}^{\nu }}&\operatorname {mod} p_{i}^{n-i+1}\\y_{n}&\equiv &x_{n,0}&\operatorname {mod} p_{n}\end{array}}}$ simultan gelten. Das ist machbar, weil die Moduln ${\displaystyle p_{i}^{n-i+1}}$ paarweise teilerfremd sind. Zu jedem ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle m}$ gibt es eine Approximationsgüte ${\displaystyle n\geq i+m}$, so dass ${\displaystyle y_{n}\;\equiv \;\sum _{\nu =0}^{m}{x_{i,\nu }\,p_{i}^{\nu }}\;\operatorname {mod} p_{i}^{m+1}}$. Die Komponente ${\displaystyle x_{i}}$ kann also beliebig, nämlich auf ${\displaystyle \operatorname {mod} p_{i}^{m+1}}$, genau approximiert werden. Mithin konvergiert die Folge ${\displaystyle (y_{n})_{n\geq 1}}$ für ${\displaystyle n\to \infty }$ gegen ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=x}$.  ■

• Für eine beliebige galoissche Körpererweiterung ${\displaystyle E/K}$ ist die Galoisgruppe ${\displaystyle G(E/K)}$ isomorph zum projektiven Limes der Galoisgruppen ${\displaystyle G(L/K)}$, wobei ${\displaystyle L}$ alle endlichen und galoisschen Zwischenerweiterungen von ${\displaystyle E/K}$ durchläuft, die halbgeordnete Indexmenge die Menge dieser Zwischenkörper mit der Inklusionsordnung ist, und der Morphismus für ${\displaystyle M/L}$ gegeben ist durch ${\displaystyle f_{M,L}:G(M/K)\to G(L/K),s\to s\mid _{L}}$ (also die Einschränkung eines Automorphismus auf den kleineren Körper). Betrachtet man alle ${\displaystyle G(L/K)}$ als diskrete topologische Gruppen, dann wird auf ${\displaystyle G(E/K)}$ eine Produkttopologie induziert, die Krulltopologie genannt wird.
  Da alle endlichen Erweiterungen eines endlichen Körpers zyklisch sind, ist die Galoisgruppe des algebraischen Abschlusses eines endlichen Körpers isomorph zu ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$ (als additiver Gruppe).
• Erweiterungssatz von Kolmogorov: Gegeben sei eine nichtleere Indexmenge ${\displaystyle I}$ und Borel’sche Räume ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})}$ für ${\displaystyle i\in I}$. Sei ${\displaystyle {\mathcal {E}}(I)}$ die Menge aller nichtleeren, endlichen Teilmengen von ${\displaystyle I}$. Ist eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle (P_{J})_{J\in {\mathcal {E}}(I)}}$ gegeben, so existiert ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ auf dem Messraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}}):=\left(\prod _{i\in I}\Omega _{i},\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}\right),}$ für das ${\displaystyle P_{J}=P\circ (\pi _{J}^{I})^{-1}}$ für jedes ${\displaystyle J\in {\mathcal {E}}(I)}$ gilt. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \pi _{J}^{I}}$ die Projektion auf die Komponenten der Indexmenge ${\displaystyle J}$. Man schreibt dann ${\displaystyle \varprojlim _{J\uparrow I}P_{J}=:P}$ und bezeichnet das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ dann als projektiven Limes.

Limites mit Indexkategorien

In Verallgemeinerung d​es Limes für teilgeordnete Indexmengen k​ann man Limites für beliebige Indexkategorien betrachten:

Es sei ${\displaystyle I}$ eine kleine Kategorie, ${\displaystyle C}$ eine beliebige Kategorie und ${\displaystyle X\colon I\to C}$ ein Funktor. Dann ist ein Limes von ${\displaystyle X}$ ein darstellendes Objekt für den Funktor

${\displaystyle C^{\mathrm {op} }\to \mathrm {(Mengen)} ,\quad T\mapsto \mathrm {Mor} _{\mathbf {Mor} (I,C)}(\mathrm {const} _{T},X);}$

dabei bezeichne ${\displaystyle \mathrm {const} _{T}}$ den konstanten Funktor ${\displaystyle I\to C}$ mit Wert ${\displaystyle T}$. Der Limes ist also ein Objekt ${\displaystyle L}$ zusammen mit einer natürlichen Äquivalenz

${\displaystyle \mathrm {Mor} _{C}(T,L)=\mathrm {Mor} _{\mathbf {Mor} (I,C)}(\mathrm {const} _{T},X)}$

von Funktoren in ${\displaystyle T}$.

Aus dieser natürlichen Äquivalenz erhält man für ${\displaystyle T=L}$ auch die kanonischen Projektionen ${\displaystyle L\to X(i)}$ (als Entsprechung von ${\displaystyle id_{L}}$ auf der linken Seite).

Die natürliche Äquivalenz i​st im Wesentlichen n​ur eine kompakte Schreibweise d​er universellen Eigenschaft: Morphismen i​n ein Limesobjekt entsprechen kompatiblen Systemen v​on Morphismen i​n die einzelnen Objekte, g​enau wie i​m Spezialfall v​on teilgeordneten Indexmengen.

Dieser Limesbegriff umfasst einige andere universelle Konstruktionen a​ls Spezialfälle:

${\displaystyle I}$	universelle Konstruktion
Beliebig viele Objekte, nur Identitäten	Produkt
${\displaystyle \varnothing }$	Endobjekt
	Differenzkern
	Faserprodukt

Hat die Indexkategorie ein Anfangsobjekt ${\displaystyle A}$, so ist der Limes gleich ${\displaystyle X(A)}$.

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Manche Autoren definieren den projektiven Limes nur im Fall, wo ${\displaystyle (I,>)}$ gerichtet ist. Für die in diesem Artikel vorgestellten grundlegenden Eigenschaften des Limes in abstrakten Kategorien ist diese Forderung unnötig. Sie kann aber bei topologischen Fragestellungen erforderlich sein. Jon Brugger: Pro-endliche Gruppen Bemerkung 3.5

Siehe auch

• Kolimes