Produkttopologie

Im mathematischen Teilgebiet d​er Topologie i​st die Produkttopologie d​ie „natürlichste“ Topologie, d​ie ein kartesisches Produkt v​on topologischen Räumen selbst z​u einem topologischen Raum macht.

Definition

Für jedes ${\displaystyle i}$ aus einer (möglicherweise unendlichen) Indexmenge ${\displaystyle I}$ sei ${\displaystyle X_{i}}$ ein topologischer Raum. Sei ${\displaystyle X=\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ das kartesische Produkt der Mengen ${\displaystyle X_{i}}$. Für jeden Index ${\displaystyle i\in I}$ bezeichne ${\displaystyle p_{i}\colon X\to X_{i}}$ die kanonische Projektion. Dann ist die Produkttopologie auf ${\displaystyle X}$ definiert als die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen ${\displaystyle p_{i}}$ stetig sind. Man nennt ${\displaystyle X}$ mit dieser Topologie den Produktraum der ${\displaystyle X_{i}}$.

Explizite Beschreibung

Man kann die Topologie auf ${\displaystyle X}$ explizit beschreiben. Die Urbilder offener Mengen der Faktorräume ${\displaystyle X_{i}}$ unter den kanonischen Projektionen ${\displaystyle p_{i}\colon X\to X_{i}}$ bilden eine Subbasis der Produkttopologie, d. h. eine Teilmenge ${\displaystyle Y\subset X}$ ist offen genau dann, wenn sie die Vereinigung von (möglicherweise unendlich vielen) Mengen ${\displaystyle Y^{(\alpha )}}$ ist, die jeweils als endliche Durchschnitte von Mengen ${\displaystyle Y_{i,k}^{(\alpha )}:=p_{i}^{-1}(Y_{k}^{(\alpha )})}$ dargestellt werden können. Dabei liegt ${\displaystyle i}$ in ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle Y_{k}^{(\alpha )}}$ sind offene Teilmengen von ${\displaystyle X_{i}}$. Daraus folgt nicht, dass im Allgemeinen alle kartesischen Produkte offener Teilmengen offen sein müssen. Dies gilt nur, wenn ${\displaystyle I}$ endlich ist.

Universelle Eigenschaft

Der Produktraum ${\displaystyle X}$ zusammen mit den kanonischen Projektionen ${\displaystyle p_{i}}$ wird durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert: Ist ${\displaystyle Y}$ ein topologischer Raum und für jedes ${\displaystyle i\in I}$ ist ${\displaystyle f_{i}\colon Y\to X_{i}}$ stetig, dann gibt es genau eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon Y\to X}$, so dass ${\displaystyle p_{i}\circ f=f_{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$ gilt. Damit ist das kartesische Produkt mit der Produkttopologie das Produkt in der Kategorie der topologischen Räume.

Beispiele

• Wenn ${\displaystyle (X_{1},d_{1}),(X_{2},d_{2})}$ zwei metrische Räume sind, dann erhält man die Produkttopologie auf ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ mit der Produktmetrik

${\displaystyle d((p_{1},p_{2}),(q_{1},q_{2})):={\sqrt {d_{1}(p_{1},q_{1})^{2}+d_{2}(p_{2},q_{2})^{2}}}.}$

• Die Produkttopologie auf dem ${\displaystyle n}$-fachen kartesischen Produkt ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ der reellen Zahlen ist die gewöhnliche euklidische Topologie.

• Die Produkttopologie auf einem Funktionenraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{M}}$ ist die Topologie der punktweisen Konvergenz.

• Die Cantor-Menge ist homöomorph zum Produktraum von abzählbar vielen Kopien des diskreten Raums {0, 1}.

• Der Raum der irrationalen Zahlen ist homöomorph zum Produkt abzählbar vieler Kopien der natürlichen Zahlen mit der diskreten Topologie.

• Der Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ der ganzen p-adischen Zahlen wird mit der Produkttopologie der diskreten Räume ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ versehen und ist dann kompakt. Diese Topologie wird auch erzeugt vom p-adischen Betrag auf ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

Eigenschaften

Die Produkttopologie heißt auch Topologie der punktweisen Konvergenz aufgrund der folgenden Eigenschaft: Eine Folge in ${\displaystyle X=\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ konvergiert genau dann, wenn alle Projektionen auf die ${\displaystyle X_{i}}$ konvergieren. Insbesondere ist für den Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{I}}$ aller Funktionen von ${\displaystyle I}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ die Konvergenz in der Produkttopologie gleichbedeutend mit der punktweisen Konvergenz.

Um zu prüfen, ob eine gegebene Funktion ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ stetig ist, kann man das folgende Kriterium benutzen: ${\displaystyle f}$ ist stetig genau dann, wenn alle ${\displaystyle p_{i}\circ f}$ stetig sind. Die Überprüfung, ob eine Funktion ${\displaystyle g\colon X\to Z}$ stetig ist, ist meist schwieriger; man versucht dann irgendwie die Stetigkeit der ${\displaystyle p_{i}}$ auszunutzen.

Ein wichtiger Satz über d​ie Produkttopologie i​st der Satz v​on Tichonow: Jedes Produkt kompakter Räume i​st kompakt. Dies i​st leicht für endliche Produkte z​u zeigen, a​ber die Aussage i​st überraschenderweise a​uch wahr für unendliche Produkte, z​u deren Beweis m​an dann a​ber das Auswahlaxiom benötigt.

Wesentliche Teile d​er Theorie d​er Produkttopologie wurden v​on A. N. Tichonow entwickelt.

Sonstiges

• Ein verwandter Begriff ist die Summentopologie.
• Die Produkttopologie ist eine spezielle Initialtopologie.

Siehe auch

• Eingeschränktes direktes Produkt

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.