Nilpotente Gruppe

Nilpotente Gruppe i​st ein Begriff a​us dem Bereich d​er Gruppentheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik. In gewissem Sinn verallgemeinert e​r für endliche Gruppen d​en Begriff d​er kommutativen Gruppe „so w​enig wie möglich“: Jede kommutative Gruppe i​st nilpotent, a​ber nicht umgekehrt. Endliche kommutative Gruppen lassen s​ich (bis a​uf Isomorphie) eindeutig a​ls direktes Produkt v​on endlich vielen zyklischen Gruppen v​on Primzahlpotenzordnung darstellen. Dies i​st eine Aussage d​es Hauptsatzes über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Bei endlichen nilpotenten Gruppen übernehmen d​ie p-Sylowgruppen d​ie Rolle d​er zyklischen Gruppen: Jede endliche nilpotente Gruppe i​st (bis a​uf Isomorphie) e​in direktes Produkt i​hrer p-Sylowgruppen. Die Definition d​es Begriffs „nilpotente Gruppe“ beruht a​uf dem allgemeineren Konzept e​iner Kette v​on Untergruppen (mit bestimmten Eigenschaften), d​as im Artikel „Reihe (Gruppentheorie)“ erläutert wird.

Charakterisierungen

Für nilpotente Gruppen lassen s​ich diverse äquivalente Charakterisierungen angeben. Sie werden o​ft über d​ie Betrachtung bestimmter Reihen eingeführt. Definiere für e​ine Gruppe d​ie Kommutatoren induktiv

${\displaystyle L_{1}(G)=G}$

${\displaystyle L_{n}(G):=[L_{n-1}(G),G]}$ für ${\displaystyle n>1}$.

Man erhält dadurch d​ie absteigende Zentralreihe

${\displaystyle G=L_{1}(G)\geq L_{2}(G)\geq \dots \geq L_{n}(G)}$.

Man nennt ${\displaystyle G}$ nilpotent, falls die absteigende Zentralreihe für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ bei der Einsgruppe endet.

Ähnlich kann man für ${\displaystyle G}$ das ${\displaystyle n}$-te Zentrum ${\displaystyle Z_{n}(G)}$ induktiv wie folgt definieren.

${\displaystyle Z_{0}(G):=1}$,

${\displaystyle Z_{1}(G):=Z(G)}$

${\displaystyle Z_{n}(G)}$ ist das Urbild von ${\displaystyle Z(G/Z_{n-1}(G))}$.

Damit i​st

${\displaystyle 1=Z_{0}(G)\leq Z_{1}(G)\leq \dots \leq Z_{n}(G)}$

eine aufsteigende Reihe; die aufsteigende Zentralreihe. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle G}$ genau dann nilpotent im obigen Sinne ist, falls diese Reihe bis zu ganz ${\displaystyle G}$ aufsteigt und dass die Längen beider Ketten gleich sind, was zur Definition der Nilpotenzklasse (auch Nilpotenzgrad) führt. Der Nilpotenzgrad ist genau die gemeinsame Länge dieser beiden Reihen.[1]

Für endliche Gruppen gelten folgende Charakterisierungen:[2]

• Alle ${\displaystyle p}$-Sylowuntergruppen sind normal in ${\displaystyle G}$. Insbesondere ist ${\displaystyle G}$ direktes Produkt ihrer ${\displaystyle p}$-Sylowuntergruppen.
• Für Primzahlen ${\displaystyle p}$ sind Produkte von ${\displaystyle p}$-Elementen wieder ${\displaystyle p}$-Elemente.
• Jede Untergruppe von ${\displaystyle G}$ ist subnormal.
• Für verschiedene Primzahlen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ sind die Kommutatoren von ${\displaystyle p}$-Elementen mit ${\displaystyle q}$-Elementen gleich dem neutralen Element.
• Ist ${\displaystyle U}$ eine echte Untergruppe von ${\displaystyle G}$, so ist ${\displaystyle U}$ echt in ihrem Normalisator enthalten.
• Ist ${\displaystyle M}$ eine maximale Untergruppe, so ist ${\displaystyle M}$ normal in ${\displaystyle G}$.

Eigenschaften

• Untergruppen, Faktorgruppen und homomorphe Bilder einer nilpotenten Gruppe sind nilpotent.
• Ist umgekehrt ${\displaystyle N}$ ein nilpotenter Normalteiler und ${\displaystyle G/N}$ ebenfalls nilpotent, so ist ${\displaystyle G}$ im Allgemeinen nicht nilpotent. Ein Beispiel ist die nicht nilpotente Gruppe S₃, die einen zur zyklischen und damit nilpotenten Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$ isomorphen Normalteiler ${\displaystyle N}$ besitzt, dessen Faktorgruppe ${\displaystyle S_{3}/N\cong \mathbb {Z} _{2}}$ ebenfalls nilpotent ist. Es gilt aber der folgende Satz:
• Philip Hall: Ist ${\displaystyle G}$ eine Gruppe mit einem nilpotenten Normalteiler ${\displaystyle N}$, so dass ${\displaystyle G/N'}$ nilpotent ist, so ist auch ${\displaystyle G}$ nilpotent.[3] Dabei ist ${\displaystyle N'}$ die Kommutatorgruppe von ${\displaystyle N}$.
• Jede nilpotente Gruppe ist auflösbar. Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch, wie die symmetrische Gruppe S₃ belegt.
• Endlich erzeugte nilpotente Gruppen sind überauflösbar, auch hier gilt die Umkehrung nicht.
• Produkte nilpotenter Normalteiler in einer Gruppe sind nilpotent. Diese Eigenschaft führt zur Definition der Fitting-Untergruppe, (nach Hans Fitting) dem Produkt aller nilpotenten Normalteiler.

Klassifikation

• Das direkte Produkt nilpotenter Gruppen ist nilpotent, falls die Nilpotenzgrade der Faktoren beschränkt sind.
• Jede endliche p-Gruppe ist nilpotent. Eine unendliche p-Gruppe ist nilpotent, wenn die Ordnung der Gruppenelemente beschränkt ist. (Beachte, dass diese Forderung stärker ist, als die Forderung endlicher Ordnung für Gruppenelemente, die durch die Definition der p-Gruppe ohnehin gewährleistet ist.)
• Eine endliche nilpotente Gruppe ist isomorph zum direkten Produkt ihrer p-Sylow-Untergruppen. Man beachte dabei, dass jede nilpotente Gruppe zu jeder Primzahl p genau eine (ggf. triviale) p-Sylow-Untergruppe besitzt.

Beispiele

• Eine nicht triviale Gruppe ist genau dann nilpotent vom Nilpotenzgrad 1, wenn sie abelsch ist.
• Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl. Die Menge der n×n-Matrizen der Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&*&\cdots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}}$ (dabei stehen die Sterne für beliebige Elemente von ${\displaystyle K}$)

ist eine Untergruppe der Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen, die Gruppe der strikten oberen Dreiecksmatrizen. Sie ist nilpotent mit Nilpotenzgrad ${\displaystyle n-1}$.
Im Spezialfall ${\displaystyle n=3}$, ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ trägt diese Gruppe auch den Namen Heisenberggruppe.

• Die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ mit ${\displaystyle n}$ Elementen ist genau dann nilpotent, wenn ${\displaystyle n=2^{r}}$ gilt; in diesem Fall ist der Nilpotenzgrad gleich ${\displaystyle r-1}$.
• Die Frattinigruppe ${\displaystyle \Phi (G)}$ ist stets nilpotent und falls ${\displaystyle G/\Phi (G)}$ nilpotent, dann auch ${\displaystyle G}$.[4]

Literatur

• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5^th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Einzelnachweise

1. Michael Aschbacher: Finite group theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Band 10, 2te Auflage, Cambridge University Press (2000), ISBN 0-521-78145-0, S. 28–29.
2. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.2.4
3. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.2.10
4. Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: The theory of finite groups. An introduction. Springer, New York u. a. 2004, ISBN 0-387-40510-0, S. 105.