Überlagerung (Topologie)

Überlagerungen werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Topologie untersucht. Eine Überlagerung e​ines topologischen Raums besteht a​us einem weiteren topologischen Raum, d​em Überlagerungsraum, u​nd einer stetigen Abbildung, d​ie aus d​em Überlagerungsraum i​n den Ausgangsraum abbildet u​nd bestimmte Eigenschaften besitzt.

Der Raum ${\displaystyle Y}$ ist eine Überlagerung von ${\displaystyle X=[0,1]\times S^{1}}$, die paarweise disjunkten Mengen ${\displaystyle S_{i}}$ werden homöomorph auf ${\displaystyle U}$ abgebildet. Die Faser des Punktes ${\displaystyle x}$ besteht aus den Punkten ${\displaystyle y_{i}}$.

Anschaulich k​ann man s​ich eine Überlagerung s​o vorstellen, d​ass man d​en Ausgangsraum a​uf dem Überlagerungsraum abrollt beziehungsweise d​en Ausgangsraum m​it dem Überlagerungsraum einwickelt.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum. Eine Überlagerung von ${\displaystyle X}$ ist ein topologischer Raum ${\displaystyle Y}$ zusammen mit einer stetigen surjektiven Abbildung

${\displaystyle p\colon Y\to X\,,}$

so dass es zu jedem Punkt ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ eine Umgebung ${\displaystyle U}$ gibt, für die das Urbild ${\displaystyle p^{-1}(U)\subset Y}$ unter ${\displaystyle p}$ aus einer Vereinigung paarweise disjunkter offener Mengen ${\displaystyle S_{i}}$ besteht, die jeweils mittels ${\displaystyle p}$ homöomorph auf ${\displaystyle U}$ abgebildet werden.

Oft wird der Begriff der Überlagerung sowohl für den Überlagerungsraum ${\displaystyle Y}$ als auch für die Überlagerungsabbildung ${\displaystyle p\colon Y\to X}$ benutzt. Für ein ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ heißt ${\displaystyle p^{-1}(x)}$ die Faser von ${\displaystyle x}$. Sie besteht aus endlich oder unendlich vielen diskreten Punkten. Im ersten Fall spricht man von einer endlichen Überlagerung.

Man sagt, die Elemente der Faser liegen über ${\displaystyle x}$. Die offenen Mengen ${\displaystyle S_{i}}$ heißen Blätter.

Beispiele

Betrachte den Einheitskreis ${\displaystyle S^{1}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Die reelle Gerade ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist dann eine Überlagerung mit der Überlagerungsabbildung

${\displaystyle p\colon \mathbb {R} \to S^{1},\quad p(t)=(\cos(t),\sin(t))}$.

Die Gerade wird also unendlich oft um den Kreis gewickelt. Die Blätter über einem Intervall des Kreises sind Intervalle auf der Zahlengeraden, die sich mit Periode ${\displaystyle 2\pi }$ wiederholen. Jede Faser hat unendlich viele Elemente (${\displaystyle x+2\pi \mathbb {Z} }$). Die Isomorphie zwischen der Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1},x_{0})}$ von ${\displaystyle S^{1}}$ und der additiven Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ über den ganzen Zahlen lässt sich mit Hilfe dieser Überlagerung sehr anschaulich beweisen.

Die komplexe Ebene ohne den Ursprung, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$, wird von sich selbst überlagert durch die Abbildung

${\displaystyle p\colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} ^{*},\quad p(z)=z^{n}}$.

Jede Faser hat hier ${\displaystyle n}$ Elemente.

Ein Beispiel aus der Quantenmechanik betrifft die Gruppe SO(3) der Drehungen des dreidimensionalen reellen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Zu ihr gehört als „zweifache“ Überlagerung die SU(2), also die Gruppe der "komplexen Drehungen" des ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, die sogenannte Spinorgruppe. Im Gegensatz zur SO(3) ist sie einfach zusammenhängend.

In der Funktionentheorie werden verzweigte Überlagerungen behandelt. Sei ${\displaystyle p\in \mathbb {C} [z]}$ ein Polynom und ${\displaystyle K}$ die Menge der kritischen Punkte von ${\displaystyle p}$, welche auch Verzweigungspunkte genannt werden. Die Abbildung ${\displaystyle p:\mathbb {C} \setminus p^{-1}(K)\to \mathbb {C} \setminus K,z\mapsto p(z)}$ ist so eine verzweigte Überlagerung mit ${\displaystyle \operatorname {deg} (p)}$ Blättern.[1]

Eigenschaften

Jede Überlagerung ist ein lokaler Homöomorphismus, das heißt, die Einschränkung der Überlagerungsabbildung ${\displaystyle p}$ auf eine kleine Umgebung ist ein Homöomorphismus auf eine offene Teilmenge. Daher besitzen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ die gleichen lokalen Eigenschaften:

• falls ${\displaystyle X}$ eine Mannigfaltigkeit ist, so auch jede zusammenhängende Überlagerung von ${\displaystyle X}$.
• falls ${\displaystyle X}$ eine Riemannsche Fläche ist, so ist dies auch jede Überlagerung von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle p}$ ist dann holomorph.
• falls ${\displaystyle X}$ eine Lie-Gruppe ist, so auch jede Überlagerung von ${\displaystyle X}$, und ${\displaystyle p}$ ist dann ein Lie-Gruppen-Homomorphismus.
• falls ${\displaystyle X}$ ein CW-Komplex ist, so auch jede Überlagerung von ${\displaystyle X}$.

Für jede Zusammenhangskomponente von ${\displaystyle X}$ ist die Anzahl der Elemente einer Faser über einem Punkt (und damit die Anzahl der Blätter über einer Umgebung) stets gleich. Hat jede Faser ${\displaystyle n}$ Elemente, so spricht man von einer ${\displaystyle n}$-fachen Überlagerung.

Es gilt die Hochhebungseigenschaft: Ist ${\displaystyle p\colon Y\to X}$ eine Überlagerung, ${\displaystyle \gamma }$ ein Weg in ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle z}$ ein Punkt über dem Startpunkt ${\displaystyle \gamma (0)}$ (d. h. ${\displaystyle p(z)=\gamma (0)}$), dann gibt es einen eindeutigen Weg ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ in ${\displaystyle Y}$ über ${\displaystyle \gamma }$ (d. h. ${\displaystyle p({\tilde {\gamma }}(t))=\gamma (t)}$) mit Anfangspunkt ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=z}$. Wege in ${\displaystyle X}$ lassen sich also bei Vorgabe eines Startpunkts aus der Faser eindeutig nach ${\displaystyle Y}$ hochheben.

Sind ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ zwei Punkte in ${\displaystyle X}$, die durch einen Weg verbunden sind, so vermittelt der Weg durch die Hochhebungseigenschaft eine bijektive Abbildung zwischen den Fasern über ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$.

Universelle Überlagerung

Eine Überlagerung ${\displaystyle q\colon Z\to X}$ heißt universelle Überlagerung, falls ${\displaystyle Z}$ einfach zusammenhängend ist.

In der Regel gibt es über einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ viele verschiedene Überlagerungen. Ist zum Beispiel ${\displaystyle Z}$ Überlagerung von ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle Y}$ Überlagerung von ${\displaystyle X}$, so ist auch ${\displaystyle Z}$ eine Überlagerung von ${\displaystyle X}$. Der Name „universelle Überlagerung“ kommt daher, dass sie auch Überlagerung jeder anderen zusammenhängenden Überlagerung von ${\displaystyle X}$ ist.

Aus d​er beschriebenen universellen Eigenschaft folgt, d​ass die universelle Überlagerung b​is auf e​inen Homöomorphismus eindeutig bestimmt i​st (zwei universelle Überlagerungen s​ind nämlich w​egen dieser Eigenschaft jeweils d​ie Überlagerung v​on der anderen, woraus folgt, d​ass sie homöomorph s​ein müssen).

Ist ${\displaystyle X}$ zusammenhängend, lokal wegzusammenhängend und semilokal einfach zusammenhängend, so besitzt ${\displaystyle X}$ eine universelle Überlagerung. Man kann die universelle Überlagerung konstruieren, indem man einen Punkt ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ fixiert und zu jedem Punkt ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle X}$ die Menge der Homotopieklassen von Wegen von ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle y}$ betrachtet. Die Topologie erhält man lokal, da ${\displaystyle y}$ eine Umgebung hat, deren Schleifen global zusammenziehbar sind und auf der daher die besagten Homotopieklassen überall gleich sein müssen, sodass man das Kreuzprodukt der Umgebung mit der (diskret topologisierten) Menge der Homotopieklassen mit der Produkttopologie versehen kann. Unter den genannten Voraussetzungen ist dieses Konstrukt dann eine universelle Überlagerung.

Die universelle Überlagerung von ${\displaystyle X}$ wird meist mit ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ bezeichnet.

Das obige Beispiel ${\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}$ ist eine universelle Überlagerung. Ein anderes Beispiel ist die universelle Überlagerung des projektiven Raumes durch die Sphäre

${\displaystyle p\colon S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}}$

für ${\displaystyle n>1}$.

Die Gruppe der Decktransformationen, reguläre Überlagerungen

Eine Decktransformation einer Überlagerung ${\displaystyle p\colon Y\to X}$ ist ein Homöomorphismus ${\displaystyle f\colon Y\to Y}$, der mit der Projektion ${\displaystyle p}$ verträglich ist, d. h. ${\displaystyle p\circ f=p}$. Die Menge aller Decktransformationen der Überlagerung bildet eine Gruppe mit der Verknüpfung der Hintereinanderausführung. Die Decktransformationsgruppe (kurz Deckgruppe) wird mit ${\displaystyle Deck(p)}$ bezeichnet.

Aus der Verträglichkeit mit der Projektion folgt, dass jede Decktransformation einen Punkt aus ${\displaystyle Y}$ wieder auf einen Punkt in der gleichen Faser abbildet. Da die Decktransformationen darüber hinaus Homöomorphismen, also bijektiv, sind, werden die Elemente einer Faser permutiert. Dies definiert eine Gruppenoperation der Decktransformationsgruppe auf jeder Faser.

Falls ${\displaystyle p\colon Y\to X}$ eine Überlagerungsabbildung und ${\displaystyle Y}$ (und damit auch ${\displaystyle X}$) zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend ist, so ist die Operation von ${\displaystyle Deck(p)}$ auf jeder Faser frei. Falls die Operation auch transitiv auf einer Faser ist, so ist sie dies auf allen Fasern. In diesem Fall nennt man die Überlagerung normal, regulär oder auch galoissch. Dies ist genau dann der Fall, wenn die charakteristische Untergruppe ein Normalteiler ist, was den Namen erklärt.

Zum Beispiel ist jede universelle Überlagerung regulär. Ebenso das Beispiel ${\displaystyle p(z)=z^{n}}$. Hier bestehen die Decktransformationen aus Multiplikationen mit ${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln, die Gruppe ist also isomorph zur zyklischen Gruppe der Ordnung ${\displaystyle n}$.

Die Gruppe der Decktransformationen der universellen Überlagerung ist isomorph zur Fundamentalgruppe des Basisraums; die universelle Überlagerung von ${\displaystyle X}$ ist ein ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$-Prinzipalbündel.

Klassifikation

${\displaystyle X}$ besitze eine universelle Überlagerung ${\displaystyle {\tilde {X}}}$, und ${\displaystyle x_{0}}$ sei ein Punkt von ${\displaystyle X}$. Die beiden folgenden Konstruktionen liefern eine Äquivalenz von Kategorien zwischen der Kategorie der Überlagerungen von ${\displaystyle X}$ und der Kategorie der Mengen mit ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$-Operation:

• Einer Überlagerung ${\displaystyle p\colon Y\to X}$ wird die Faser ${\displaystyle p^{-1}(x_{0})}$ zugeordnet.
• Einer Menge ${\displaystyle F}$ wird das assoziierte Bündel ${\displaystyle {\tilde {X}}\times _{\pi _{1}(X,x_{0})}F}$ zugeordnet; es ist ein Faserbündel mit diskreter Faser, also eine Überlagerung.

Zusammenhängenden Überlagerungen entsprechen Mengen mit transitiver ${\displaystyle \pi _{1}}$-Operation, und bis auf Isomorphie sind diese durch Untergruppen von ${\displaystyle \pi _{1}}$ klassifiziert. Einer zusammenhängenden Überlagerung ${\displaystyle p\colon Y\to X}$ entspricht dabei die Untergruppe ${\displaystyle p_{*}\pi _{1}(Y)\subseteq \pi _{1}(X)}$.

Literatur

• Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.

Weblinks

• Coverings of the Circle (Überlagerungen als Computeranimation)

Einzelnachweise

1. Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. 1. Auflage. Springer Spektrum, Juli 2017, S. 92–93.