Solenoid (Mathematik)

In d​er Mathematik s​ind Solenoide gewisse Kontinua, d​ie unter anderem a​ls Attraktoren i​n der Theorie d​er dynamischen Systeme vorkommen.

Ein Smale-Williams-Solenoid

Definition

Ein Solenoid i​st eine topologische Gruppe, d​ie der projektive Limes e​iner Folge stetiger Homomorphismen

${\displaystyle f_{ij}\colon S_{i}\to S_{j}}$

ist, wobei alle ${\displaystyle S_{i}}$ topologische Gruppen homöomorph zur Kreisgruppe sind.

Wenn man die Kreisgruppe als ${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\right\}}$ realisiert, dann sind also alle ${\displaystyle f_{ij}}$ von der Form

${\displaystyle f_{ij}(z)=z^{n_{ij}}}$

für ein ${\displaystyle n_{ij}\in \mathbb {Z} }$. Anschaulich gesprochen wickelt ${\displaystyle f_{ij}}$ den Kreis ${\displaystyle \mid n_{ij}\mid }$-mal um sich selbst, je nach Vorzeichen von ${\displaystyle n_{ij}}$ in positiver oder negativer Richtung.

Eigenschaften

Solenoide s​ind kompakt, zusammenhängend u​nd eindimensional. Sie s​ind unzerlegbare Kontinua u​nd nicht lokal zusammenhängend o​der lokal wegzusammenhängend. Sie lassen s​ich in d​en dreidimensionalen euklidischen Raum einbetten u​nd sind d​amit metrisierbar.

Beispiele

Erster Schritt in der Konstruktion eines Smale-Williams-Solenoids: ein Volltorus ${\displaystyle T_{2}}$ wird innerhalb des Volltorus ${\displaystyle T_{1}}$ zweimal herumgewickelt.

Die ersten sechs Schritte in der Konstruktion eines Smale-Williams-Solenoids.

• Die folgenden topologischen Gruppen sind alle isomorph zueinander und sind ein Solenoid:[1]

1. der projektive Limes ${\displaystyle \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }S^{1}}$, wobei ${\displaystyle \mathbb {N} }$ durch die Teilbarkeitsrelation teilgeordnet ist und für ${\displaystyle m\mid n}$ die Abbildung von der ${\displaystyle m}$-ten auf die ${\displaystyle n}$-te Kopie von ${\displaystyle S^{1}}$ durch ${\displaystyle z\to z^{\frac {n}{m}}}$ gegeben ist;
2. der projektive Limes ${\displaystyle \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {R} /{\frac {1}{n}}\mathbb {Z} }$, wobei ${\displaystyle \mathbb {N} }$ durch die Teilbarkeitsrelation teilgeordnet ist und für ${\displaystyle m\mid n}$ die Abbildung von ${\displaystyle \mathbb {R} /{\frac {1}{n}}\mathbb {Z} }$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} /{\frac {1}{m}}\mathbb {Z} }$ von der Identitätsabbildung induziert wird;
3. das Pontrjagin-Dual ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\vee }}$, d. h. die Menge der Gruppenhomomorphismen ${\displaystyle \mathbb {Q} \to S^{1}}$ mit der kompakt-offenen Topologie, wobei ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ die diskrete Topologie trägt;
4. die Adeleklassengruppe ${\displaystyle {\mathbb {A} }/\mathbb {Q} }$, wobei ${\displaystyle {\mathbb {A} }}$ der Adelring und ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset {\mathbb {A} }}$ diagonal eingebettet ist.

• Das Smale-Willians-Solenoid zu einer Folge natürlicher Zahlen ${\displaystyle n_{i}}$ wird wie folgt konstruiert: starte mit einem Volltorus ${\displaystyle T_{1}}$, dann wird ein Volltorus ${\displaystyle T_{2}}$ innerhalb von ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle n_{1}}$-mal herumgewickelt (das Bild rechts zeigt den Fall ${\displaystyle n_{1}=2}$), anschließend wird ein Volltorus ${\displaystyle T_{3}}$ innerhalb von ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle n_{2}}$-mal herumgewickelt, und so fort. Dabei sollen die Durchmesser des Querschnitts der Volltori gegen Null konvergieren. Die Schnittmenge ${\displaystyle \Lambda =\bigcap T_{i}}$ ist dann homöomorph zum durch die Folge ${\displaystyle f_{i,i+1}(z)=z^{n_{i}}}$ definierten Solenoid.[2]

Literatur

• Leopold Vietoris: Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen. Math. Ann. 97 (1927), 454–472.
• David van Dantzig: Über topologisch homogene Kontinua. Fund. Math. 15 (1930), 102–125.

Weblinks

• Solenoid (Encyclopedia of Mathematics)

Einzelnachweise

1. Robert Kucharczyk, Peter Scholze: Topological realisations of absolute Galois groups online
2. Robert F. Williams: Expanding attractors. Publ. Math. IHES 43 (1974), 169–203