Einbettung (Mathematik)

In verschiedenen Teilgebieten d​er Mathematik versteht m​an unter e​iner Einbettung e​ine Abbildung, d​ie es ermöglicht, e​in Objekt a​ls Teil e​ines anderen aufzufassen.

Häufig i​st damit lediglich e​ine injektive Abbildung (im Fall „flacher“, d. h. unstrukturierter Mengen) o​der ein Monomorphismus (strukturtreue injektive Abbildung, i​m Fall mathematischer Strukturen) gemeint.

Ein Sonderfall i​st die kanonische Einbettung (Inklusion) e​iner Untermenge o​der Unterstruktur i​n eine s​ie enthaltende Menge bzw. Struktur. Ein Beispiel i​st die kanonische Einbettung d​er reellen Zahlen i​n die komplexen Zahlen.

Darüber hinaus g​ibt es i​n einigen Gebieten speziellere Einbettungsbegriffe.

Topologie

In der Topologie bezeichnet man eine Abbildung ${\displaystyle f}$ zwischen zwei topologischen Räumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ als Einbettung von ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle Y}$, wenn ${\displaystyle f}$ ein Homöomorphismus von ${\displaystyle X}$ auf den Unterraum ${\displaystyle f(X)}$ seines Bildes ist (in der Teilraumtopologie).

Es s​ind die folgenden Aussagen äquivalent:

• die Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ist eine Einbettung.
• ${\displaystyle f}$ ist injektiv, stetig und als Abbildung nach ${\displaystyle f(X)}$ offen, d. h., für jede offene Menge ${\displaystyle O}$ von ${\displaystyle X}$ ist das Bild ${\displaystyle f(O)}$ wieder offen in ${\displaystyle f(X)}$.
• ${\displaystyle f}$ ist injektiv und stetig, und für alle topologischen Räume ${\displaystyle T}$ und alle stetigen Abbildungen ${\displaystyle t\colon T\rightarrow Y}$, welche über ${\displaystyle X}$ faktorisieren (d. h., es gibt eine Abbildung ${\displaystyle t_{0}\colon T\rightarrow X}$ mit ${\displaystyle t=f\circ t_{0}}$ ), ist die induzierte Abbildung ${\displaystyle t_{0}\ }$ stetig.
• ${\displaystyle f}$ ist ein extremer Monomorphismus, d. h. ${\displaystyle f}$ ist injektiv für jede Faktorisierung in einen Epimorphismus (d. h. eine surjektive stetige Abbildung) ${\displaystyle e}$ und eine stetige Abbildung ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle f=g\circ e}$, ist ${\displaystyle e}$ nicht nur ein Bimorphismus (d. h. bijektiv) wie für beliebiges injektives ${\displaystyle f}$, sondern sogar ein Homöomorphismus.
• ${\displaystyle f}$ ist ein regulärer Monomorphismus.[1]

Im Allgemeinen ist eine Einbettung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ nicht offen, d. h., für ${\displaystyle U\subset X}$ offen muss ${\displaystyle f(U)}$ nicht offen in ${\displaystyle Y}$ sein, wie das Beispiel der üblichen Einbettung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ zeigt. Eine Einbettung ${\displaystyle f}$ ist genau dann offen, wenn das Bild ${\displaystyle f(X)}$ in ${\displaystyle Y}$ offen ist.

Differentialtopologie

Unter einer glatten Einbettung versteht man eine topologische Einbettung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ in eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${\displaystyle Y}$, die zudem noch eine Immersion ist.

Differentialgeometrie

Unter einer isometrischen Einbettung einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (X,g_{1})}$ in eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (Y,g_{2})}$ versteht man eine glatte Einbettung ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle Y}$, so dass für alle Tangentialvektoren ${\displaystyle v,w}$ in ${\displaystyle T_{x}X}$ die Gleichung ${\displaystyle g_{2}(Df(v),Df(w))=g_{1}(v,w)}$ gilt.

Eine isometrische Einbettung erhält die Längen von Kurven, sie muss aber nicht unbedingt die Abstände zwischen Punkten erhalten. Als Beispiel betrachte man den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit der euklidischen Metrik und die Einheitssphäre ${\displaystyle S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ mit der induzierten Metrik. Nach Definition der induzierten Metrik ist die Inklusion ${\displaystyle S^{n-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ eine isometrische Einbettung. Sie ist aber nicht abstände-erhaltend: zum Beispiel ist der Abstand zwischen Nord- und Südpol (d. h. die Länge einer kürzesten Verbindungskurve) auf der ${\displaystyle S^{n-1}}$ gleich ${\displaystyle \pi }$, während ihr Abstand im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ gleich ${\displaystyle 2}$ ist.

Körpertheorie

In der Körpertheorie ist jeder nichttriviale Ringhomomorphismus ${\displaystyle E\to F}$ bereits eine Körpereinbettung, also ein Monomorphismus.

Ein Zahlkörper ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ kann verschiedene Einbettungen ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ haben. Eine Einbettung heißt reelle Einbettung, wenn ihr Bild in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ liegt, und komplexe Einbettung sonst. Zum Beispiel hat ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ eine reelle und zwei komplexe Einbettungen. (Die komplexen Einbettungen bilden ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ auf die anderen Nullstellen von ${\displaystyle x^{3}-2}$ ab.) Zu jeder komplexen Einbettung liefert das komplex-konjugierte eine andere komplexe Einbettung, weshalb die Anzahl der komplexen Einbettungen stets gerade ist. Es gilt ${\displaystyle \left[K:\mathbb {Q} \right]=r_{1}+2r_{2}}$, wobei ${\displaystyle r_{1}}$ die Anzahl der reellen und ${\displaystyle 2r_{2}}$ die Anzahl der komplexen Einbettungen bezeichnet.

Siehe auch

• Unterraum
• Eigentliche Einbettung
• Einbettungssatz von Mitchell
• Einbettungssatz von Nash
• Einbettungssatz von Sobolew
• Einbettungssatz von Whitney
• Worteinbettung

Einzelnachweise

1. extremal monomorphism, Eintrag im nLab. (englisch)

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.