Adjungierte Darstellung

In d​er Mathematik spielen d​ie adjungierten Darstellungen v​on Lie-Gruppen u​nd Lie-Algebren e​ine wichtige Rolle i​n Differentialgeometrie, Darstellungstheorie u​nd Mathematischer Physik.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren

→ Hauptartikel: Lie-Gruppe

Eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind.

Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Vektorraum der links-invarianten Vektorfelder mit dem Kommutator als Lie-Klammer. Die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ kann auf kanonische Weise mit dem Tangentialraum im neutralen Element der Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ identifiziert werden:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\simeq T_{e}G}$.

Adjungierte Darstellungen

Sei ${\displaystyle G}$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Die Konjugation mit einem Element ${\displaystyle g\in G}$ ist die durch

${\displaystyle c_{g}(h):=ghg^{-1}\ \forall \ h\in G}$

definierte Abbildung ${\displaystyle c_{g}\colon G\to G}$.

Die adjungierte Darstellung

${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\rightarrow GL({\mathfrak {g}})}$

ist d​er durch

${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)=D_{e}c_{g}}$

für alle ${\displaystyle g\in G}$ definierte Lie-Gruppen-Homomorphismus. Dabei Bezeichnet ${\displaystyle D_{e}c_{g}}$ die von der differenzierbaren Abbildung ${\displaystyle c_{g}}$ induzierte Ableitung im Punkt ${\displaystyle e}$, das ist eine lineare Abbildung ${\displaystyle T_{e}G={\mathfrak {g}}\rightarrow T_{c_{g}(e)}G=T_{e}G={\mathfrak {g}}}$, also ein Element aus ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})}$.

Ebenfalls a​ls adjungierte Darstellung bezeichnet w​ird der induzierte Lie-Algebren-Homomorphismus

${\displaystyle \operatorname {ad}$ :=D_{e}\operatorname {Ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} .

Weil es nach den Lie'schen Sätzen zu jeder endlich-dimensionalen reellen Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine bis auf Isomorphismus eindeutige einfach zusammenhängende Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ mit ${\displaystyle T_{e}G={\mathfrak {g}}}$ gibt, lässt sich die adjungierte Darstellung ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ für jede solche Lie-Algebra definieren.

Explizite Beschreibung

Die adjungierte Darstellung e​iner Lie-Algebra entspricht d​em Anwenden d​er Lie-Klammer: e​s gilt

${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(Y)=\left[X,Y\right]}$

für alle ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$.

Für Matrizengruppen, d. h. abgeschlossene Untergruppen von ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$, lässt sich auch die adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe explizit beschreiben: nach der kanonischen Identifizierung von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ mit einer Teilmenge von ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\simeq \operatorname {Mat} (n,\mathbb {C} )}$ gilt

${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)(X)=gXg^{-1}}$

für alle ${\displaystyle g\in G,X\in {\mathfrak {g}}}$.

Literatur

• Arvanitoyeorgos, Andreas: An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces. Translated from the 1999 Greek original and revised by the author. Student Mathematical Library, 22. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. ISBN 0-8218-2778-2
• Hall, Brian C.: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. Graduate Texts in Mathematics, 222. Springer-Verlag, New York, 2003. ISBN 0-387-40122-9
• Knapp, Anthony W.: Lie groups beyond an introduction. Second edition. Progress in Mathematics, 140. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002. ISBN 0-8176-4259-5