Gruppenhomomorphismus

In d​er Gruppentheorie betrachtet m​an spezielle Abbildungen zwischen Gruppen, d​ie man Gruppenhomomorphismen nennt. Ein Gruppenhomomorphismus i​st eine Abbildung zwischen z​wei Gruppen, d​ie mit diesen verträglich ist, u​nd damit e​in spezieller Homomorphismus.

Definition

Gegeben seien zwei Gruppen ${\displaystyle (G,*)}$ und ${\displaystyle (H,\star ).}$ Eine Funktion ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$ heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$ gilt:

${\displaystyle \phi (g_{1}*g_{2})=\phi (g_{1})\star \phi (g_{2}).}$

Die Gleichung besagt, d​ass der Homomorphismus strukturerhaltend ist: Es i​st egal, o​b man e​rst zwei Elemente verknüpft u​nd das Ergebnis abbildet o​der ob m​an erst d​ie zwei Elemente abbildet u​nd dann d​ie Bilder verknüpft.

Aus dieser Definition folgt, dass ein Gruppenhomomorphismus das neutrale Element ${\displaystyle e_{G}}$ von ${\displaystyle G}$ auf das neutrale Element ${\displaystyle e_{H}}$ von ${\displaystyle H}$ abbildet:

${\displaystyle \phi (e_{G})=e_{H},}$

denn für alle ${\displaystyle g\in G}$ gilt

${\displaystyle \phi (g)=\phi (g*e_{G})=\phi (g)\star \phi (e_{G}),}$

also ist ${\displaystyle \phi (e_{G})}$ das neutrale Element in ${\displaystyle H}$.

Weiterhin folgt, d​ass er Inverse a​uf Inverse abbildet:

${\displaystyle \phi (g^{-1})=\phi (g)^{-1}}$ für alle ${\displaystyle g\in G,}$

denn wegen

${\displaystyle e_{H}=\phi (e_{G})=\phi (g*g^{-1})=\phi (g)\star \phi (g^{-1})}$

ist ${\displaystyle \phi (g^{-1})}$ das Inverse von ${\displaystyle \phi (g).}$

Bild und Kern

Als Bild (engl. image) des Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle f\colon G\to H}$ bezeichnet man die Bildmenge von ${\displaystyle G}$ unter ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle f(G)=\operatorname {Bild} (f)=\operatorname {im} (f)\colon =\left\{f(u)\mid u\in G\right\}}$

Der Kern (engl. kernel) von ${\displaystyle f}$ ist das Urbild des neutralen Elements ${\displaystyle e_{H}}$:

${\displaystyle f^{-1}(e_{H})=\operatorname {Kern} (f)=\operatorname {ker} (f)\colon =\left\{u\in G\mid f(u)=e_{H}\right\}}$

Genau dann, wenn ${\displaystyle \operatorname {Kern} (f)=\left\{e_{G}\right\}}$ gilt (der Kern von ${\displaystyle f}$ also nur das neutrale Element von ${\displaystyle G}$ enthält, das immer im Kern liegt), ist ${\displaystyle f}$ injektiv. Ein injektiver Gruppenhomomorphismus wird auch Gruppen-Monomorphismus genannt.

Der Kern von ${\displaystyle f}$ ist stets ein Normalteiler von ${\displaystyle G}$ und das Bild von ${\displaystyle f}$ ist eine Untergruppe von ${\displaystyle H}$. Nach dem Homomorphiesatz ist die Faktorgruppe ${\displaystyle G/\operatorname {Kern} (f)}$ isomorph zu ${\displaystyle \operatorname {Bild} (f)}$.

Beispiele

Triviale Beispiele

• Sind ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ beliebige Gruppen, dann ist die Abbildung ${\displaystyle h\colon G\to H}$, die jedes Element auf das neutrale Element von ${\displaystyle H}$ abbildet, ein Gruppenhomomorphismus. Sein Kern ist ganz ${\displaystyle G}$.
• Für jede Gruppe ${\displaystyle G}$ ist die identische Abbildung ${\displaystyle \operatorname {id} \colon G\to G,\ \operatorname {id} (x)=x}$, ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.
• Ist ${\displaystyle H}$ eine Untergruppe der Gruppe ${\displaystyle G}$, so ist die Inklusionsabbildung ${\displaystyle i\colon H\hookrightarrow G}$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus von ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$.

Nichttriviale Beispiele

• Betrachte die additive Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ der ganzen Zahlen und die Faktorgruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ,+)=\{0+3\mathbb {Z} ,1+3\mathbb {Z} ,2+3\mathbb {Z} \}}$. Die Abbildung ${\displaystyle p\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ,\ p(z)=z\,{\bmod {\,}}3=z+3\mathbb {Z} }$ (siehe Kongruenz und Restklassenring), ist ein Gruppenhomomorphismus. Er ist surjektiv und sein Kern besteht aus der Menge ${\displaystyle 3\mathbb {Z} }$ aller durch 3 teilbaren ganzen Zahlen. Dieser Homomorphismus wird kanonische Projektion genannt.
• Die Exponentialfunktion ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen der additiven Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{*},\cdot \right)}$ der reellen Zahlen ungleich 0, denn ${\displaystyle \operatorname {exp} (x+y)=\operatorname {exp} (x)\cdot \operatorname {exp} (y)}$. Diese Abbildung ist injektiv, und ihr Bild ist die Menge der positiven reellen Zahlen.
• Die komplexe Exponentialfunktion ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen den komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ mit der Addition und den von 0 verschiedenen komplexen Zahlen mit der Multiplikation. Dieser Homomorphismus ist surjektiv und sein Kern ist ${\displaystyle \operatorname {ker} (\operatorname {exp} )=\left\{2\pi ki\colon k\in \mathbb {Z} \right\}}$, wie man z. B. aus der Eulerschen Identität entnehmen kann.
• Die Abbildung, die jeder invertierbaren ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ihre Determinante zuordnet, ist ein Homomorphismus ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )\to (\mathbb {R} ,\,\cdot )}$
• Die Abbildung, die jeder Permutation ihr Vorzeichen zuordnet, ist ein Homomorphismus ${\displaystyle S_{n}\to (\{\pm 1\},\,\cdot )}$

Verkettung von Gruppenhomomorphismen

Sind ${\displaystyle h\colon G\to H}$ und ${\displaystyle k\colon H\to K}$ zwei Gruppenhomomorphismen, dann ist ihre Komposition ${\displaystyle k\circ h\colon G\to K}$ ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus.

Die Klasse a​ller Gruppen bildet m​it den Gruppenhomomorphismen e​ine Kategorie.

Mono-, Epi-, Iso-, Endo-, Automorphismus

Ein Homomorphismus ${\displaystyle f\colon G\to H}$ heißt

• Monomorphismus, wenn er injektiv ist.
• Epimorphismus, wenn er surjektiv ist.
• Isomorphismus, wenn er bijektiv ist.

Ist ${\displaystyle h\colon G\to H}$ ein Gruppenisomorphismus, dann ist auch seine Umkehrfunktion ein Gruppenisomorphismus, die Gruppen ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ heißen dann zueinander isomorph: Sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.

Ist ${\displaystyle h\colon G\to G}$ ein Gruppenhomomorphismus einer Gruppe in sich selbst, dann heißt er Gruppenendomorphismus. Ist er darüber hinaus bijektiv, dann wird er Gruppenautomorphismus genannt. Die Menge aller Gruppenendomorphismen von ${\displaystyle G}$ bildet mit der Komposition einen Monoid. Die Menge aller Gruppenautomorphismen einer Gruppe ${\displaystyle G}$ bildet mit der Komposition eine Gruppe, die Automorphismengruppe ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$ von ${\displaystyle G}$.

Die Automorphismengruppe von ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ enthält nur zwei Elemente: Die Identität (1) und die Multiplikation mit −1; sie ist also isomorph zur zyklischen Gruppe ${\displaystyle C_{2}}$.

In der Gruppe von ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ ist jede lineare Abbildung ${\displaystyle f\left(x\right)=m\cdot x}$ mit ${\displaystyle m\in \mathbb {Q} \setminus \{0\}}$ ein Automorphismus.

Homomorphismen zwischen abelschen Gruppen

Sind ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ Gruppen, wobei ${\displaystyle H}$ abelsch ist, dann bildet die Menge ${\displaystyle Hom(G,H)}$ aller Gruppenhomomorphismen von ${\displaystyle G}$ nach ${\displaystyle H}$ selbst eine (wiederum abelsche) Gruppe, nämlich mit der „punktweisen Addition“:

${\displaystyle \left(h+k\right)\left(x\right)\colon =h\left(x\right)+k\left(x\right)}$ für alle ${\displaystyle x\in G}$.

Die Kommutativität von ${\displaystyle H}$ benötigt man, damit ${\displaystyle h+k}$ wieder ein Gruppenhomomorphismus ist.

Die Menge der Endomorphismen einer abelschen Gruppe ${\displaystyle G}$ bildet mit der Addition eine Gruppe, die als ${\displaystyle End(G)}$ bezeichnet wird.

Die Addition von Homomorphismen ist in folgendem Sinne verträglich mit der Komposition: Sind ${\displaystyle f\in Hom(K,G),h,k\in Hom(G,H),g\in Hom(H,L)}$, dann gilt

${\displaystyle \left(h+k\right)\circ f=\left(h\circ f\right)+\left(k\circ f\right)}$ und ${\displaystyle g\circ \left(h+k\right)=\left(g\circ h\right)+\left(g\circ k\right)}$.

Dies zeigt, dass die Endomorphismengruppe ${\displaystyle End(G)}$ einer abelschen Gruppe sogar einen Ring bildet, den Endomorphismenring von ${\displaystyle G}$.

Zum Beispiel ist der Endomorphismenring der Kleinschen Vierergruppe isomorph zum Ring der 2×2-Matrizen über dem Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Siehe auch

• Homomorphe Verschlüsselung

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg, ISBN 3-528-03217-0