Zentrum (Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet d​er Algebra bezeichnet d​as Zentrum e​iner Algebra o​der einer Gruppe diejenige Teilmenge d​er betrachteten Struktur, d​ie aus a​ll den Elementen besteht, d​ie mit a​llen Elementen bezüglich d​er Multiplikation kommutieren.

Zentrum einer Gruppe

Ist ${\displaystyle G}$ eine Gruppe, so ist deren Zentrum die Menge

${\displaystyle \mathrm {Z} (G):=\{z\in G\mid \forall g\in G:gz=zg\}.}$

Eigenschaften

Das Zentrum von ${\displaystyle G}$ ist eine Untergruppe, denn sind ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle Z(G)}$, dann gilt für jedes ${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle (xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy),}$

also liegt auch ${\displaystyle xy}$ im Zentrum. Analog zeigt man, dass ${\displaystyle x^{-1}}$ im Zentrum liegt:

${\displaystyle x^{-1}g=(g^{-1}x)^{-1}=(xg^{-1})^{-1}=gx^{-1}}$.

Das neutrale Element der Gruppe ${\displaystyle e}$ liegt stets im Zentrum: ${\displaystyle eg=g=ge}$.

Das Zentrum ist abelsch und ein Normalteiler von ${\displaystyle G}$, es ist sogar eine charakteristische Untergruppe von ${\displaystyle G}$. ${\displaystyle G}$ ist genau dann abelsch, wenn ${\displaystyle Z(G)=G}$.

Das Zentrum besteht aus genau den Elementen ${\displaystyle z}$ von ${\displaystyle G}$, für die die Konjugation mit ${\displaystyle z}$, also ${\displaystyle \left(g\mapsto z^{-1}gz\right)}$, die identische Abbildung ist. Somit kann man das Zentrum auch als Spezialfall des Zentralisators definieren. Es gilt ${\displaystyle Z_{G}(G)=Z(G)}$.

Beispiele

• Das Zentrum der symmetrischen Gruppe vom Grad 3 ${\displaystyle S_{3}=\left\{\mathrm {id} ,(1\;2),(1\;3),(2\;3),(1\;2\;3),(1\;3\;2)\right\}}$ besteht nur aus dem neutralen Element ${\displaystyle \mathrm {id} }$, denn:

${\displaystyle (1\;2)(1\;3)=(1\;3\;2)\neq (1\;3)(1\;2)=(1\;2\;3)}$

${\displaystyle (1\;2)(2\;3)=(1\;2\;3)\neq (2\;3)(1\;2)=(1\;3\;2)}$

${\displaystyle (1\;2\;3)(1\;2)=(1\;3)\neq (1\;2)(1\;2\;3)=(2\;3)}$

${\displaystyle (1\;3\;2)(1\;2)=(2\;3)\neq (1\;2)(1\;3\;2)=(1\;3)}$

• Die Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}$ besteht aus den Bewegungen der Ebene, die ein fest gewähltes Quadrat unverändert lassen. Es sind dies die Drehungen um den Mittelpunkt des Quadrats um Winkel von 0°, 90°, 180° und 270°, sowie vier Spiegelungen an den beiden Diagonalen und den beiden Mittelparallelen des Quadrats. Das Zentrum dieser Gruppe besteht genau aus den beiden Drehungen um 0° und um 180°.
• Das Zentrum der multiplikativen Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen mit Einträgen in den reellen Zahlen besteht aus den reellen Vielfachen der Einheitsmatrix.

Zentrum eines Rings

Das Zentrum eines Rings ${\displaystyle R}$ besteht aus denjenigen Elementen des Rings, die mit allen anderen kommutieren:

${\displaystyle \mathrm {Z} (R)=\{z\in R\mid za=az\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ a\in R\}.}$

Das Zentrum ${\displaystyle Z(R)}$ ist ein kommutativer Unterring von ${\displaystyle R}$. Ein Ring stimmt genau dann mit seinem Zentrum überein, wenn er kommutativ ist.

Zentrum einer assoziativen Algebra

Das Zentrum einer assoziativen Algebra ${\displaystyle A}$ ist die kommutative Unteralgebra

${\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{z\in A\mid za=az\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ a\in A\}.}$

Eine Algebra stimmt g​enau dann m​it ihrem Zentrum überein, w​enn sie kommutativ ist.

Zentrum einer Lie-Algebra

Definition

Das Zentrum einer Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist das (abelsche) Ideal

${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})=\{Z\in {\mathfrak {g}}\mid [X,Z]=0\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ X\in {\mathfrak {g}}\}}$,

wobei ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ die Lie-Klammer also die Multiplikation in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ bezeichnet. Eine Lie-Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie abelsch ist.

Beispiel

• Das Zentrum der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$ besteht aus den skalaren Vielfachen der Einheitsmatrix ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle Z\left(\mathrm {GL} (n,K)\right)=\{\lambda E_{n}\colon \lambda \in K^{*}\}}$.

• Für eine assoziative Algebra mit dem Kommutator als Lieklammer stimmen die beiden Zentrumsbegriffe überein.

Literatur

• Kurt Meyberg: Algebra – Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 36

Weblinks

• Zentrum in verschiedenen algebraischen Strukturen bei PlanetMath (englisch)