Restklassenkörper

Restklassenkörper spielen i​n verschiedenen Bereichen d​er Algebra u​nd Zahlentheorie e​ine wichtige Rolle. In i​hrer einfachsten Form s​ind sie d​ie mathematische Abstraktion d​es Restes b​ei der Division d​urch eine Primzahl, i​n der algebraischen Geometrie treten s​ie auf, w​enn die lokale Struktur e​ines geometrischen Objektes i​n einem Punkt beschrieben wird.

Definition

Sei ${\displaystyle A}$ ein Ring mit einem maximalen Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Dann heißt der Faktorring ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$, der als Faktorring eines maximalen Ideals ein Körper ist, der Restklassenkörper von ${\displaystyle A}$ bezüglich ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.

Beispiele

Restklassenkörper modulo einer Primzahl

Sei ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ der Ring der ganzen Zahlen. Da ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ein Hauptidealring ist, sind maximale Ideale von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ gerade die von Primelementen erzeugten Ideale. Ist also ${\displaystyle p}$ eine Primzahl, so ist der Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ein Körper, genauer ein endlicher Körper mit ${\displaystyle p}$ Elementen. Er wird Restklassenkörper modulo ${\displaystyle p}$ genannt und üblicherweise mit ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ bezeichnet. Man beachte jedoch, dass es auch endliche Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{2}}}$,${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{3}},\ldots }$ gibt, die mit den jeweiligen Restklassenringen nichts zu tun haben.

Restklassenkörper s​ind spezielle Beispiele primer Restklassengruppen.

Für weitere Details z​u endlichen Körpern siehe endlicher Körper.

Restklassenkörper lokaler Ringe

Sei ${\displaystyle A}$ ein lokaler Ring, also ein Ring, in dem es nur ein maximales Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ gibt. Dann gibt es zu ${\displaystyle A}$ nur einen Restklassenkörper, nämlich ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$, und wir sprechen von dem Restklassenkörper von ${\displaystyle A}$.

Restklassenkörper diskreter Bewertungsringe

Sei ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ der Bewertungsring eines diskret bewerteten Körpers ${\displaystyle K}$. Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ein lokaler Hauptidealring, sodass das maximale Ideal von ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ von einem Element ${\displaystyle \pi }$ erzeugt wird. Ein solches Element nennt man ein uniformisierendes Element und man bezeichnet ${\displaystyle {\mathcal {O}}/(\pi )}$ in diesem Fall auch als Restklassenkörper von ${\displaystyle K}$.

Restklassenkörper von Punkten auf Schemata

Sei ${\displaystyle X}$ ein Schema mit einem Punkt ${\displaystyle x\in X}$. Dann wird der Restklassenkörper des lokalen Ringes ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ der Restklassenkörper von ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle x}$ genannt und wird üblicherweise mit ${\displaystyle \kappa (x)}$ bezeichnet.

Ist ${\displaystyle X}$ ein Schema über einem Körper ${\displaystyle k}$, so sind alle Restklassenkörper von ${\displaystyle X}$ Körpererweiterungen von ${\displaystyle k}$. Ist ${\displaystyle X/k}$ lokal endlichen Typs und ${\displaystyle x\in X}$ ein abgeschlossener Punkt, so ist ${\displaystyle \kappa (x)}$ eine endliche Erweiterung von ${\displaystyle k}$. Dies ist im Wesentlichen die Aussage des hilbertschen Nullstellensatzes.