Funktionenkörper

(Algebraische) Funktionenkörper s​ind in d​er Mathematik algebraische Entsprechungen geometrischer Objekte. Funktionenkörper über endlichen Körpern spielen a​uch in d​er algebraischen Zahlentheorie e​ine wichtige Rolle.

Algebraische Definition

Es sei ${\displaystyle k}$ ein Körper. Dann heißt ein transzendenter Erweiterungskörper ${\displaystyle K/k}$ von endlichem Transzendenzgrad ein (algebraischer) Funktionenkörper.

Der algebraische Abschluss von ${\displaystyle k}$ in ${\displaystyle K}$ heißt Konstantenkörper.

Funktionenkörper i​m engeren Sinne s​ind Funktionenkörper v​om Transzendenzgrad 1 über e​inem endlichen Körper. Zusammen m​it den algebraischen Zahlkörpern bilden s​ie die Klasse d​er globalen Körper.

Geometrische Definition

Ist ${\displaystyle X}$ ein ganzes algebraisches Schema über einem Körper ${\displaystyle k}$, so heißt der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt Funktionenkörper von ${\displaystyle X}$. Er ist ein Funktionenkörper über ${\displaystyle k}$ im algebraischen Sinne.

Beispiel

Die rationalen Funktionen a​uf einer (irreduziblen) Varietät bilden e​inen Funktionenkörper.