Funktionenkörper

(Algebraische) Funktionenkörper sind in der Mathematik algebraische Entsprechungen geometrischer Objekte. Funktionenkörper über endlichen Körpern spielen auch in der algebraischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle.

Algebraische Definition

Es sei ${\displaystyle k}$ ein Körper. Dann heißt ein transzendenter Erweiterungskörper ${\displaystyle K/k}$ von endlichem Transzendenzgrad ein (algebraischer) Funktionenkörper.

Der algebraische Abschluss von ${\displaystyle k}$ in ${\displaystyle K}$ heißt Konstantenkörper.

Funktionenkörper im engeren Sinne sind Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 über einem endlichen Körper. Zusammen mit den algebraischen Zahlkörpern bilden sie die Klasse der globalen Körper.

Geometrische Definition

Ist ${\displaystyle X}$ ein ganzes algebraisches Schema über einem Körper ${\displaystyle k}$, so heißt der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt Funktionenkörper von ${\displaystyle X}$. Er ist ein Funktionenkörper über ${\displaystyle k}$ im algebraischen Sinne.

Beispiel

Die rationalen Funktionen auf einer (irreduziblen) Varietät bilden einen Funktionenkörper.