Ganzheitsring

Im mathematischen Teilgebiet d​er algebraischen Zahlentheorie i​st der Ganzheitsring e​ines algebraischen Zahlkörpers d​as Analogon d​es Ringes d​er ganzen Zahlen i​m Fall d​es Körpers d​er rationalen Zahlen. Die Elemente e​ines Ganzheitsringes werden a​ls algebraisch g​anze Zahlen bezeichnet, d​ie Menge a​ller algebraisch ganzen Zahlen i​st der Ganzheitsring i​m Körper a​ller algebraischen Zahlen.

Definition

Es sei ${\displaystyle K}$ ein algebraischer Zahlkörper, d. h. eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen. Dann ist der Ganzheitsring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ von ${\displaystyle K}$ definiert als der ganze Abschluss von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ in ${\displaystyle K}$, d. h. die Teilmenge derjenigen ${\displaystyle x\in K}$, die eine Gleichung der Form

${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots +c_{1}x+c_{0}=0}$

mit ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {Z} }$ erfüllen. Man beachte, dass der Koeffizient von ${\displaystyle x^{n}}$ (der Leitkoeffizient des Polynoms ${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots +c_{1}x+c_{0}}$) gleich 1 sein muss. Man bezeichnet solche Polynome als normiert. Ohne diese Einschränkungen bekäme man den ganzen Körper ${\displaystyle K}$.

Eine äquivalente Definition lautet: Der Ganzheitsring von ${\displaystyle K}$ ist die im Sinne der Inklusion maximale Ordnung, die Hauptordnung auf ${\displaystyle K}$.

Eigenschaften

• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ist ein endlich erzeugter, freier ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul vom Rang ${\displaystyle [K\colon \mathbb {Q} ]}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ist ein Dedekindring.
• Die Einheitengruppe von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ wird durch den Dirichletschen Einheitensatz beschrieben.

Beispiele

• Ist ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\mathrm {i} {\sqrt {3}})}$, so ist ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ der Ring der Eisenstein-Zahlen

${\displaystyle u+v\cdot {\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}$ mit ${\displaystyle u,v\in \mathbb {Z} .}$

Eine solche Zahl ist Nullstelle des Polynoms

${\displaystyle X^{2}-(2u-v)X+(u^{2}-uv+v^{2}).}$

Erfüllt umgekehrt ${\displaystyle x=a+b\mathrm {i} {\sqrt {3}}\in K}$ die Polynomgleichung

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ mit ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ,}$

so folgt ${\displaystyle p=-2a}$ und ${\displaystyle q=a^{2}+3b^{2}}$. Man kann zeigen, dass dann ${\displaystyle a+b}$ und ${\displaystyle 2b}$ ganzzahlig sind, also ist

${\displaystyle x=(a+b)+2b\cdot {\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}$

eine Eisenstein-Zahl.

• Ist ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\mathrm {i} )}$, so ist ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ der Ring der ganzen gaußschen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]}$.

• Allgemein sieht für den Ganzheitsring von ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ (wobei ${\displaystyle d}$ ganz und quadratfrei sei) eine Ganzheitsbasis so aus:

${\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}}$ falls ${\displaystyle d}$ kongruent 2 oder 3 mod 4

${\displaystyle \{1,{\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}\}}$ falls ${\displaystyle d}$ kongruent 1 mod 4

• Bezeichnet ${\displaystyle \zeta }$ eine primitive ${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel, so ist der Ganzheitsring des ${\displaystyle n}$-ten Kreisteilungskörpers ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta )}$ gleich ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$.

Siehe auch

• Ordnung