Einheitengruppe

In d​er Mathematik i​st die Einheitengruppe e​ines Rings m​it Einselement d​ie Menge a​ller multiplikativ invertierbaren Elemente. Sie i​st mit d​er Ringmultiplikation e​ine Gruppe.

Die Einheitengruppen v​on (unitären) assoziativen Algebren können a​ls Verallgemeinerung d​er allgemeinen linearen Gruppe angesehen werden.

Definition

Sei ${\displaystyle R}$ ein Ring mit 1. Die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente (Einheiten) von ${\displaystyle R}$ bildet mit der Ringmultiplikation eine Gruppe. Sie wird Einheitengruppe von ${\displaystyle R}$ genannt. Man schreibt die Einheitengruppe meist als ${\displaystyle R^{*}}$ oder als ${\displaystyle R^{\times }}$. Die Definition lässt sich auf Monoide übertragen.

Eigenschaften und verwandte Begriffe

• Ein kommutativer Ring mit 1, dessen Einheitengruppe aus allen Elementen außer der Null besteht, ist bereits ein Körper.
• Ein kommutativer Ring mit 1 ist genau dann lokal, wenn das Komplement der Einheitengruppe ein Ideal ist.

Die Einheitengruppe eines Körpers

Die Einheitengruppe ${\displaystyle K^{*}}$ (auch ${\displaystyle K^{\times }}$) ${\displaystyle$ :=\{x\in K\mid x\neq 0\}} eines Körpers ${\displaystyle K}$ heißt multiplikative Gruppe. Sie ist isomorph zur linearen algebraischen Gruppe

${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(K):=\left\{{\begin{pmatrix}x&0\\0&~x^{-1}\end{pmatrix}}\;{\Bigg |}\;x\in K^{*}\right\}\subseteq \mathrm {GL} _{2}(K)}$,

also Untergruppe d​er allgemeinen linearen Gruppe v​om Grad 2.

Jede endliche multiplikative Untergruppe eines kommutativen Körpers ${\displaystyle K}$ ist zyklisch (s. Einheitswurzel).

Beispiele

• Die Einheitengruppe des Rings ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen besteht aus den beiden Elementen 1 und −1.
• Die Einheitengruppe des Rings ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ der rationalen Zahlen besteht aus allen rationalen Zahlen ungleich der Null, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ist also ein Körper.
• Die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo 10 besteht aus den Elementen 1, 3, 7 und 9.
• Ist ${\displaystyle p}$ eine Primzahl, so gibt es in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ genau ${\displaystyle p-1}$ Einheiten.
• Allgemein: Ist ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, so gibt es in ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ genau ${\displaystyle \varphi (m)}$ Einheiten. Dabei ist ${\displaystyle \varphi }$ die Euler-Funktion. ${\displaystyle \varphi (m)}$ ist die Anzahl der natürlichen Zahlen, die nicht größer als ${\displaystyle m}$ und teilerfremd zu ${\displaystyle m}$ sind.[1]
• Die Einheitengruppe des Matrizenrings der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen mit Koeffizienten in einem Körper ${\displaystyle K}$ heißt allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$. ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ sind Lie-Gruppen.

Literatur

• Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger. Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 2010, ISBN 978-3-8348-1213-1.
• Armin Leutbecher: Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1996, ISBN 3-540-58791-8.

Einzelnachweise

1. Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger. Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 2010, Seite 113.