Kynea-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Kynea-Zahl eine ganze Zahl der Form ${\displaystyle (2^{n}+1)^{2}-2}$, oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form ${\displaystyle 2^{2n}+2^{n+1}-1}$ mit ${\displaystyle n\geq 1}$. Sie wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einem Baby, Kynéa R. Griffith, benannt hat.[1][2]

Beispiele

• Die ersten Kynea-Zahlen sind die folgenden:

7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, 67125247, 268468223, 1073807359, 4295098367, 17180131327, 68720001023, 274878955519, 1099513724927, 4398050705407, 17592194433023, 70368760954879, 281475010265087, 1125899973951487, … (Folge A093069 in OEIS)

• Die ersten primen Kynea-Zahlen sind die folgenden

(die ${\displaystyle 2}$ ist in der Liste wegen ${\displaystyle n\geq 1}$ nicht enthalten, hätte aber ebenfalls die Form ${\displaystyle (2^{n}+1)^{2}-2=(2^{0}+1)^{2}-2=4-2=2}$):

7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, 1073807359, 17180131327, 68720001023, 4398050705407, 70368760954879, 18014398777917439, 18446744082299486207, 5070602400912922109586440191999, … (Folge A091514 in OEIS)

Man nennt sie Kynea-Primzahlen.

• Die größte bekannte Kynea-Primzahl ist ${\displaystyle (2^{661478}+1)^{2}-2}$ und hat ${\displaystyle 398250}$ Stellen.[3] Sie wurde von Mark Rodenkirch im Juni 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die 50. Kynea-Primzahl.[4]

Eigenschaften

• Jede Kynea-Zahl der Form ${\displaystyle (2^{n}+1)^{2}-2}$ hat eine binäre Darstellung, welche ${\displaystyle 2n+1}$ Stellen lang ist, mit einem Einser beginnt, danach ${\displaystyle n-1}$ Nullen in der Mitte hat und mit weiteren ${\displaystyle n+1}$ Einsern endet. Mit anderen Worten:

${\displaystyle (2^{n}+1)^{2}-2=4^{n}+\sum _{i=0}^{n}2^{i}}$

Beispiel:

${\displaystyle 287=(2^{4}+1)^{2}-2={\underline {1}}\cdot 2^{8}+{\underline {0}}\cdot 2^{7}+{\underline {0}}\cdot 2^{6}+{\underline {0}}\cdot 2^{5}+{\underline {1}}\cdot 2^{4}+{\underline {1}}\cdot 2^{3}+{\underline {1}}\cdot 2^{2}+{\underline {1}}\cdot 2^{1}+{\underline {1}}\cdot 2^{0}=100011111_{2}}$

• Die Differenz zwischen der ${\displaystyle n}$-ten Kynea-Zahl und der ${\displaystyle n}$-ten Carol-Zahl ${\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2}$ beträgt ${\displaystyle 2^{n+2}}$.
• Wenn man mit der Kynea-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Kynea-Zahl ein Vielfaches von ${\displaystyle 7}$.

Beispiel:

${\displaystyle 16639=(2^{7}+1)^{2}-2}$ ist die sechste Carol-Zahl nach ${\displaystyle 7}$ und tatsächlich ist ${\displaystyle 16639=2377\cdot 7}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle 7}$.

• Eine Kynea-Zahl ${\displaystyle (2^{n}+1)^{2}-2}$ mit ${\displaystyle n=3k+1}$ für ${\displaystyle k>0}$ kann keine Primzahl sein.

(folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)

• Eine Kynea-Zahl ${\displaystyle (2^{n}+1)^{2}-2}$ ist die Summe einer ${\displaystyle n}$-ten Potenz von 4 und der ${\displaystyle (n+1)}$-ten Mersenne-Zahl.

Verallgemeinerungen

Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form ${\displaystyle (b^{n}+1)^{2}-2}$ mit ${\displaystyle n\geq 1}$ und einer Basis ${\displaystyle b\geq 2}$.

Eigenschaften

• Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis ${\displaystyle b}$ kann nur dann eine Primzahl sein, wenn ${\displaystyle b}$ eine gerade Zahl ist.

(Wenn ${\displaystyle b}$ eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz ${\displaystyle b^{n}}$ ungerade. Addiert man ${\displaystyle 1}$ dazu, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man ${\displaystyle 2}$ ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim. Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.)

• Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit einer ungeraden Basis ${\displaystyle b}$ ist immer eine gerade Zahl.
• Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis ${\displaystyle b^{n}}$ ist auch eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis ${\displaystyle b}$.
• Die kleinsten ${\displaystyle n\geq 1}$, sodass ${\displaystyle ((2k)^{n}+1)^{2}-2}$ prim ist (Basis ${\displaystyle b=2k}$), sind die folgenden (für ${\displaystyle k=1,2,3,4,\ldots ,100}$):

1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, …

Beispiel:

Für ${\displaystyle k=11}$ kann man der obigen Liste an der 11. Stelle die Zahl ${\displaystyle n=3}$ entnehmen.

Tatsächlich ist ${\displaystyle ((2\cdot 11)^{3}+1)^{2}-2=113401199\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Kynea-Primzahlen mit Basis ${\displaystyle b}$ entnehmen kann:[5]

${\displaystyle b}$	Form	Potenzen ${\displaystyle n\geq 1}$, sodass verallgemeinerte Kynea-Zahlen mit Basis ${\displaystyle b}$, also der Form ${\displaystyle (b^{n}+1)^{2}-2}$ prim sind	OEIS-Folge
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2}$	1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, 852770, …	(Folge A091513 in OEIS)
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle (4^{n}-1)^{2}-2}$	1, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, 426385, …
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle (6^{n}-1)^{2}-2}$	1, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, …	(Folge A100902 in OEIS)
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle (8^{n}-1)^{2}-2}$	1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, …
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle (10^{n}-1)^{2}-2}$	22, 351, 1061, …	(Folge A100904 in OEIS)
${\displaystyle 12}$	${\displaystyle (12^{n}-1)^{2}-2}$	1, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, 78858, …
${\displaystyle 14}$	${\displaystyle (14^{n}-1)^{2}-2}$	1, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, …	(Folge A100906 in OEIS)
${\displaystyle 16}$	${\displaystyle (16^{n}-1)^{2}-2}$	2, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, …
${\displaystyle 18}$	${\displaystyle (18^{n}-1)^{2}-2}$	1, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, 82516, …
${\displaystyle 20}$	${\displaystyle (20^{n}-1)^{2}-2}$	1, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, 92990, …
${\displaystyle 22}$	${\displaystyle (22^{n}-1)^{2}-2}$	3, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, 42356, 52147, 82020, …	(Folge A100908 in OEIS)
${\displaystyle 24}$	${\displaystyle (24^{n}-1)^{2}-2}$	24, 321, 971, 984, …
${\displaystyle 26}$	${\displaystyle (26^{n}-1)^{2}-2}$	1, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, …
${\displaystyle 28}$	${\displaystyle (28^{n}-1)^{2}-2}$	1, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, 80543, …
${\displaystyle 30}$	${\displaystyle (30^{n}-1)^{2}-2}$	2, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, …
${\displaystyle 32}$	${\displaystyle (32^{n}-1)^{2}-2}$	1, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, 170554, …
${\displaystyle 34}$	${\displaystyle (34^{n}-1)^{2}-2}$	1, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, …
${\displaystyle 36}$	${\displaystyle (36^{n}-1)^{2}-2}$	1, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, …
${\displaystyle 38}$	${\displaystyle (38^{n}-1)^{2}-2}$	6, 279, 3490, …
${\displaystyle 40}$	${\displaystyle (40^{n}-1)^{2}-2}$	2, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, …
${\displaystyle 42}$	${\displaystyle (42^{n}-1)^{2}-2}$	1, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, …
${\displaystyle 44}$	${\displaystyle (44^{n}-1)^{2}-2}$	3, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, …
${\displaystyle 46}$	${\displaystyle (46^{n}-1)^{2}-2}$	1, 54, 2040, 3063, …
${\displaystyle 48}$	${\displaystyle (48^{n}-1)^{2}-2}$	1, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, …
${\displaystyle 50}$	${\displaystyle (50^{n}-1)^{2}-2}$	4, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, …

Die größte bekannte verallgemeinerte Kynea-Primzahl ist ${\displaystyle (30^{157950}+1)^{2}-2}$ und hat ${\displaystyle 466623}$ Stellen.[6] Sie wurde von Serge Batalov am 22. Mai 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die achte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.[4]

Weitere Verallgemeinerungen

Eine positive ganze Zahl der Form ${\displaystyle (2^{n}+1)^{3}-2}$ nennt man Big-Ears-Zahl (Big-Ears number).[7]

Die kleinsten primen Big-Ears-Zahlen, sogenannte Big-Ears-Primzahlen, s​ind die folgenden:

3, 7, 11, 15, 35, 16475, 26827, 79127, 85075, … (Folge A0100900 in OEIS)

Siehe auch

• Carol-Zahl

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Near-Square Prime. In: MathWorld (englisch).
• Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search.
• Carol- und Kynea-Primzahlen

Einzelnachweise

1. Cletus Emmanuel auf Prime Pages
2. Cletus Emmanuel: Message to Yahoo primenumbers group
3. (2⁶⁶¹⁴⁷⁸+1)²-2 auf The Lagest Known Primes!
4. Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search
5. Prime Wiki: Carol-Kynea table
6. (30¹⁵⁷⁹⁵⁰+1)²-2 auf The Lagest Known Primes!
7. Carol- und Kynea-Primzahlen