Kohärenter Zustand

Kohärente Zustände ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ (vgl. auch kohärente Strahlung) sind quantenmechanische Zustände unbestimmter Teilchenzahl, meist bei Bosonen. Wie R.J. Glauber 1963 zeigte, lässt sich die elektromagnetische Welle einer Laser-Mode am besten durch kohärente Zustände beschreiben. Nach ihm werden sie auch als Glauber-Zustände bezeichnet.

Kohärente Zustände kommen klassischen elektromagnetischen Wellen s​ehr nahe, w​eil der Erwartungswert d​er elektrischen Feldstärke d​ie Form e​iner klassischen elektromagnetischen Welle hat, unabhängig v​om Erwartungswert d​er Teilchenzahl.

Misst m​an in e​inem kohärenten Zustand d​ie Teilchenzahl jeweils i​n einem festen Zeitintervall, s​o erhält m​an Messwerte, d​ie einer Poisson-Verteilung genügen.

Geschichte

Der kohärente Zustand w​urde von Erwin Schrödinger entdeckt, a​ls er n​ach einem Zustand d​es quantenmechanischen harmonischen Oszillators suchte, d​er dem d​es klassischen harmonischen Oszillators entspricht.[1] Der kohärente Zustand entspricht demnach e​inem gaußschen Wellenpaket, d​as im harmonischen Potential hin- u​nd herläuft, o​hne Orts- o​der Impulsunschärfe z​u verändern.

Eigenschaften

Wichtige Eigenschaften eines kohärenten Zustandes ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ sind:

• Normierung: Der Vorfaktor des kohärenten Zustandes dient der Normierung: ${\displaystyle \langle \alpha |\alpha \rangle =1}$
• Keine Orthogonalität: Kohärente Zustände sind nicht orthogonal: ${\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =\exp \left(\alpha \beta ^{*}-(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2})/2\right)\neq \delta (\alpha -\beta )}$
• Der kohärente Zustand ist ein rechtsseitiger Eigenzustand des Vernichtungsoperators ${\displaystyle {\hat {a}}}$: ${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$ (siehe Herleitung).

Dagegen ist der Bra-Vektor ein linksseitiger Eigenzustand des Erzeugungsoperators ${\displaystyle {\mathit {{\hat {a}}^{\dagger }}}}$ mit komplex-konjugiertem Eigenwert ${\displaystyle \alpha ^{*}}$: ${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {a}}^{\dagger }=\alpha ^{*}\langle \alpha |}$

Der Vernichtungsoperator kann also im Gegensatz zum Erzeugungsoperator tatsächlich Eigenzustände (Rechtseigenzustände) besitzen.

Der Vernichtungsoperator verringert die maximale Teilchenzahl um eins; da ein Zustand im Fockraum aber Komponenten aller Teilchenzahlen beinhalten kann (wie es beim kohärenten Zustand zutrifft), ist damit nicht verboten, dass ${\displaystyle {\hat {a}}}$ Eigenzustände besitzt. Dagegen erhöht der Erzeugungsoperator die minimale Teilchenzahl eines Zustandes im Fockraum um eins; der damit entstandene Zustand kann also nicht der ursprüngliche sein.

• In einer wechselwirkungsfreien Theorie (im harmonischen Oszillator) bleiben kohärente Zustände kohärent. Sie sind jedoch keine Eigenzustände des freien Hamilton-Operators. Vielmehr rotiert die Phase von ${\displaystyle \alpha }$ mit der Oszillatorfrequenz ${\displaystyle \omega }$, d. h. ein kohärenter Zustand geht in einen anderen kohärenten Zustand über.
• Kohärente Zustände besitzen minimale Unschärfe: ${\displaystyle \langle \Delta x\rangle _{\alpha }\langle \Delta p\rangle _{\alpha }={\frac {\hbar }{2}}}$ (mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum ${\displaystyle \hbar }$)
• In der Quantenelektrodynamik ist der kohärente Zustand ein Eigenzustand des Operators des Vektorfeldes ${\displaystyle {\hat {A}}}$ (oder, gleichbedeutend, des elektrischen Feldes ${\displaystyle {\hat {E}}}$). In einem kohärenten Zustand sind die Quantenfluktuationen des elektrischen Feldes identisch zu dem des Vakuumzustandes.

Darstellung im Phasenraum

Darstellung eines kohärenten Zustands im Phasenraum. Die Achsen entsprechen dem Real- bzw. Imaginärteil von ${\displaystyle \alpha }$.

Viele dieser Eigenschaften lassen sich im Phasenraum veranschaulichen, der von den Quadraturen ${\displaystyle X_{1}=\operatorname {Re} \left(\alpha \right)}$ und ${\displaystyle X_{2}=\operatorname {Im} \left(\alpha \right)}$ aufgespannt wird (siehe Abbildung):

${\displaystyle \alpha =X_{1}+iX_{2}=\left|\alpha \right|e^{i\Phi }}$

Der minimalen Unschärfe entspricht im Phasenraum die kleinstmöglichen Fläche, die ein Zustand mindestens ausfüllt. Der Kreis, der in der Abbildung einen kohärenten Zustand repräsentiert, hat somit eine Fläche von ${\displaystyle {\tfrac {\hbar }{2}}}$. Die Zeitentwicklung des kohärenten Zustands entspricht einer Rotation des Kreises um den Ursprung des Phasenraums mit Frequenz ${\displaystyle \omega ={\dot {\Phi }}}$.

Analoge Darstellung mit Unsicherheiten in Phase und Amplitude

Anstatt ${\displaystyle \Delta X_{1}}$ und ${\displaystyle \Delta X_{2}}$ können auch Phasen- und Amplituden-Unschärfen verwendet werden (zweite Abbildung). Dabei ist der Erwartungswert des Teilchenzahloperators ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \langle \alpha |a^{\dagger }a|\alpha \rangle =\left|\alpha \right|^{2}={\bar {n}}}$

${\displaystyle \Rightarrow |\alpha |={\sqrt {\bar {n}}}}$

Diese Formulierung erklärt anschaulich d​as Schrotrauschen.

Der Nicht-Orthogonalität kohärenter Zustände entspricht e​ine Überlappung i​hrer Flächen i​m Phasenraum. Denn anders a​ls es d​ie Abbildungen zunächst vermuten lassen, s​ind die Flächen n​icht scharf begrenzt, sondern klingen gaußförmig ab. Der Kreisrand i​n den Abbildungen entspräche d​ann etwa d​er Halbwertsbreite.

Die Darstellung i​m Phasenraum h​ilft z. B. b​eim Vergleich v​on gequetschtem Licht m​it kohärenten Zuständen. Dieses entspricht i​m Phasenraum e​iner Ellipse, d​ie aus d​em Kreis d​es kohärenten Zustands hervorgeht, i​ndem eine d​er beiden Unsicherheiten verkleinert wird. Weil d​ie Fläche i​m Phasenraum a​ber nicht kleiner werden kann, g​eht das „Quetschen“ m​it einer entsprechend größeren Unsicherheit i​n der anderen Quadratur einher.

Ferner macht die Phasenraum-Darstellung den Effekt des Verschiebungsoperators ${\displaystyle \operatorname {D} (\alpha )}$ im Fockraum (s. u.) anschaulich klar.

Darstellung im Fockraum

Ein idealer kohärenter Zustand b​ei der quantenfeldtheoretischen Behandlung d​er Photonen, Elektronen etc. i​st stets e​ine Überlagerung v​on Zuständen verschiedener Teilchenzahl, e​r enthält s​ogar (verschwindend geringe) Anteile beliebig h​oher Teilchenzahl.

In Fock-Raum-Schreibweise (nach Wladimir Alexandrowitsch Fock) ergibt sich der kohärente Zustand ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ als unendliche Linearkombination von Zuständen fester Teilchenzahl (Fock-Zustände) ${\displaystyle |n\rangle }$ nach:

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$

Dabei ist ${\displaystyle \alpha }$ eine beliebige nichtverschwindende komplexe Zahl, die den kohärenten Zustand vollständig definiert.

Die Wahrscheinlichkeit, e​ine Besetzung v​on genau n Teilchen z​u messen, ist:

${\displaystyle P(n)=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {|\alpha |^{2n}}{n!}}e^{-|\alpha |^{2}}}$

Die Verteilung entspricht also der Poisson-Verteilung. Demnach ist ${\displaystyle |\alpha |^{2}}$ der Erwartungswert der Besetzungszahl des kohärenten Zustandes.

Der kohärente Zustand kann durch Anwendung eines unitären „Verschiebungsoperators“ ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )}$ aus dem unbesetzten Zustand ${\displaystyle |0\rangle }$ des Systems erzeugt werden (siehe Herleitung):

${\displaystyle |\alpha \rangle ={\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =\exp {\left(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}\right)}|0\rangle }$

Dabei sind ${\displaystyle {\mathit {{\hat {a}}^{\dagger }}}}$ und ${\displaystyle {\hat {a}}\ }$ die Auf- bzw. Absteigeoperatoren des Fock-Zustandes.

Die Übertragung i​n den Fockraum w​urde von Roy J. Glauber entwickelt.

Kohärente Zustände in der Quantenmechanik

Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Phase (farblich) eines kohärenten Zustands mit α=3.

Wignerfunktion eines kohärenten Zustands mit α=2 im Phasenraum.

In der 1-Teilchen-Quantenmechanik versteht man unter einem kohärenten Zustand ein Gaußsches Wellenpaket mit reeller Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Als weitere Parameter hat es den Erwartungswert q des Ortes und den Erwartungswert p des Impulses. Die normierte Wellenfunktion im Ortsraum in einer Raumdimension lautet:

${\displaystyle \psi _{q,p}(x)=\pi ^{-1/4}\sigma ^{-1/2}e^{-(x-q)^{2}/2\sigma ^{2}}e^{ipx/\hbar }\qquad \sigma \in \mathbf {R} }$

Der entsprechende Ket-Vektor ${\displaystyle |q,p\rangle }$ ist definiert durch:

${\displaystyle \psi _{q,p}(x)=\langle x|q,p\rangle }$

Quasiklassische Eigenschaften

Die Unschärfen v​on Ort u​nd Impuls s​ind beim Gaußschen Wellenpaket gegeben durch:

${\displaystyle (\Delta q)^{2}=\int \psi _{q,p}^{*}(x)(x-q)^{2}\psi _{q,p}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\sigma ^{2}}{2}}\qquad \qquad }$

${\displaystyle (\Delta p)^{2}=\int \psi _{q,p}^{*}(x)\left({\frac {\hbar }{i}}\,{\frac {\partial }{\partial x}}-p\right)^{2}\psi _{q,p}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\hbar ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

Das Unschärfeprodukt n​immt also d​en minimalen Wert an:

${\displaystyle \Delta q\,\Delta p={\frac {\hbar }{2}}}$

Auch umgekehrt f​olgt aus e​inem minimalen Unschärfeprodukt, d​ass die Wellenfunktion e​in Gaußsches Wellenpaket ist.[2]

Im Limes ${\displaystyle \Delta q\to 0}$ wird das Wellenpaket zu einem Eigenzustand des Ortes, im Limes ${\displaystyle \Delta p\to 0}$ zu einem Eigenzustand des Impulses. Unter „klassischen“ Bedingungen, wenn sowohl ${\displaystyle \Delta q}$ als auch ${\displaystyle \Delta p}$ als klein angesehen werden kann, ist das Gaußsche Wellenpaket näherungsweise ein gemeinsamer Eigenzustand von Ortsoperator und Impulsoperator:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\hat {q}}|q,p\rangle =q|q,p\rangle +O(\Delta q)\\{\hat {p}}|q,p\rangle =p|q,p\rangle +O(\Delta p)\end{array}}}$

Die Fehler s​ind von d​er Größenordnung d​er Unschärfen, d​enn als Maß für d​ie Abweichung v​on der Eigenwertgleichung können gerade d​ie Ausdrücke gelten, d​ie die Unschärfen definieren (s. o.).

Vollständigkeitsrelation

Jedes Wellenpaket lässt s​ich als Superposition v​on Gaußschen Wellenpaketen darstellen. Als Operatorgleichung formuliert (Zerlegung d​er Eins):

${\displaystyle {\boldsymbol {1}}=\int |q,p\rangle \,\langle q,p|~{\frac {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}{h}}}$

Dies kann man zeigen, indem man auf beiden Seiten das Matrixelement ${\displaystyle \langle x|\cdots |x'\rangle }$ in der Ortsbasis bildet und auf der rechten Seite die Wellenfunktionen ${\displaystyle \psi _{q,p}}$ sowie die Fourierdarstellung der Deltafunktion benutzt.

Das Plancksche Wirkungsquantum w​ird auf d​iese Weise z​ur Bezugsgröße für klassische Phasenvolumina.

Anwendung: Klassische Zustandssumme

Mit Hilfe d​er Vollständigkeitsrelation k​ann die klassische 1-Teilchen-Zustandssumme für d​ie kanonische Gesamtheit i​n einfacher Weise a​us der quantenmechanischen Zustandssumme[3]

${\displaystyle Z=\operatorname {tr} \,e^{-\beta {\hat {H}}}}$

hergeleitet werden. Wenn nämlich d​ie Unschärfen v​on Ort u​nd Impuls vernachlässigbar u​nd somit d​ie kohärenten Zustände gemeinsame Eigenzustände v​on Ort, Impuls u​nd Hamiltonoperator sind, gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}Z&=\operatorname {tr} \left(e^{-\beta {\hat {H}}}\int {\frac {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}{h}}|q,p\rangle \langle q,p|\right)\\&=\int {\frac {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}{h}}\,e^{-\beta H(q,p)}\operatorname {tr} \,|q,p\rangle \langle q,p|\\&=\int {\frac {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}{h}}\,e^{-\beta H(q,p)}\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \operatorname {tr} \,|\phi \rangle \langle \psi |=\langle \psi |\phi \rangle }$ benutzt wurde.

Eine genauere Argumentation m​it oberen u​nd unteren Schranken findet s​ich in[4].

Herleitung

Im Folgenden w​ird gezeigt, d​ass die kohärenten Zustände Eigenzustände d​es Vernichtungsoperators sind:

${\displaystyle {\hat {a}}\left|\alpha \right\rangle =\alpha \left|\alpha \right\rangle }$

Die Fockzustände ${\displaystyle |n\rangle }$ bilden ein vollständiges Orthonormalensystem, also kann man jeden Zustand nach ihnen entwickeln:

${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum \limits _{n=0}^{\infty }|n\rangle \underbrace {\langle n|\alpha \rangle } _{b_{n}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}|n\rangle }$

Nun betrachtet man die linke Seite der Eigenwertgleichung, wobei ${\displaystyle {\hat {a}}|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle }$. Zudem gilt ${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0}$, weswegen der Laufindex der Summe nach dem zweiten Gleichheitszeichen auf ${\displaystyle n=1}$ erhöht wird:

${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}{\hat {a}}|n\rangle =\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n}{\sqrt {n}}\,|n-1\rangle =\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n+1}{\sqrt {n+1}}\,|n\rangle }$

Das Vertauschen von ${\displaystyle {\hat {a}}}$ und der unendlichen Summe (und damit einer Grenzwertbildung) ist keinesfalls trivial, denn ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ist selbst im Fall des harmonischen Oszillators ein unstetiger Operator. Im Fall des harmonischen Oszillators lässt sich dieser Schritt begründen, im Allgemeinen ist hier jedoch Vorsicht geboten!

Die rechte Seite d​er Eigenwertgleichung:

${\displaystyle \alpha |\alpha \rangle =\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}\alpha |n\rangle }$

Aus der Gleichheit beider Seiten gewinnt man eine Rekursionsbeziehung ${\displaystyle b_{n+1}{\sqrt {n+1}}=b_{n}\alpha }$

${\displaystyle b_{n}={\frac {\alpha }{\sqrt {n}}}\,b_{n-1}\Rightarrow b_{n}={\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}\,b_{0}}$

Nun nutzt man die Normierungsbedingung der kohärenten Zustände aus, um ${\displaystyle b_{0}}$ zu bestimmen:

${\displaystyle 1=\langle \alpha |\alpha \rangle =\sum \limits _{m,n=0}^{\infty }b_{m}^{*}b_{n}\underbrace {\langle m|n\rangle } _{\delta _{mn}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }|b_{n}|^{2}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {|\alpha |^{2n}}{n!}}|b_{0}|^{2}=e^{|\alpha |^{2}}|b_{0}|^{2}}$

Radizieren liefert ${\displaystyle b_{0}}$, wobei eine komplexe Phase zu null und somit ${\displaystyle b_{0}}$ reell gewählt wird:

${\displaystyle b_{0}=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}}$

Dies ergibt eingesetzt i​n obige Entwicklung d​ie Darstellung d​er kohärenten Zustände:

${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}|n\rangle =b_{0}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{\frac {\left|\alpha \right|^{2}}{2}}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}\left|n\right\rangle }$

Nutzt man noch aus, dass die Fockzustände ${\displaystyle |n\rangle }$ sich durch Anwendung des Erzeugungsoperators aus dem Vakuumzustand ${\displaystyle |0\rangle }$ ergeben ${\displaystyle \left|n\right\rangle =(n!)^{-1/2}\,({\hat {a}}^{\dagger })^{n}\left|0\right\rangle }$ und dann noch dass die Anwendung des Vernichtungsoperators auf den Vakuumzustand eine Null produziert ${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0}$ bzw. ${\displaystyle e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle }$, dann erhält man:

${\displaystyle \left|\alpha \right\rangle =e^{-{\frac {\left|\alpha \right|^{2}}{2}}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}{\frac {\left({\hat {a}}^{\dagger }\right)^{n}}{\sqrt {n!}}}\left|0\right\rangle =e^{-{\frac {\left|\alpha \right|^{2}}{2}}}e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}\left|0\right\rangle =e^{-{\frac {\left|\alpha \right|^{2}}{2}}}e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}\left|0\right\rangle }$

Mit der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel ${\displaystyle e^{\hat {A}}e^{\hat {B}}=e^{{\hat {A}}+{\hat {B}}}e^{[{\hat {A}},{\hat {B}}]/2}}$ kann man das Produkt der beiden Exponentialfunktionen zusammenfassen, wobei ${\displaystyle [{\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}]=-1}$:

${\displaystyle e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}=e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{-\alpha \alpha ^{*}[{\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}]/2}=e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{|\alpha |^{2}/2}}$

Somit

${\displaystyle \left|\alpha \right\rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}\left|0\right\rangle ={\hat {D}}\left|0\right\rangle }$

Siehe auch

• Kohärenz

Einzelnachweise

1. E. Schrödinger, Der stetige Übergang von der Mikro- zur Makromechanik. In: Die Naturwissenschaften 14 (1926) 664–666. doi:10.1007/BF01507634.
2. C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Quantenmechanik, Band 1, de Gruyter-Verlag, Abschnitt 3.8
3. B. H. Bransden, C. J. Joachain, Quantum Mechanics, Prentice Hall, section 14.4
4. J. R. Klauder, B.-S. Skagerstam, Coherent States --- Applications in Physics and Mathematical Physics, World Scientific, 1985, Abschnitt I.6

Literatur

• R. J. Glauber, Phys. Rev. 131, 2766, 1963

Weblinks

• Messung der Photonenstatistik von kohärenten Zuständen im Experiment