Teilbarkeit

Teilbarkeit i​st eine mathematische Beziehung zwischen z​wei ganzen Zahlen. Eine g​anze Zahl i​st durch e​ine andere g​anze Zahl teilbar, w​enn bei d​er Division k​ein Rest verbleibt, a​lso die „Geteilt-Rechnung aufgeht“.

So i​st beispielsweise d​ie Zahl 8 d​urch 4 teilbar, d​a 8 : 4 g​enau 2 ergibt; s​omit ist 4, a​ber auch 2, Teiler v​on 8. Dagegen i​st die Zahl 9 n​icht durch 4 teilbar, w​eil die 4 zweimal i​n die 9 „geht“, a​ber ein Rest v​on 1 übrig bleibt.

Die Zahl 11 h​at nur z​wei Teiler: 1 u​nd die Zahl 11 selbst. Solche Zahlen n​ennt man Primzahlen. Die Zahl 12 dagegen h​at viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 6 u​nd 12. Solche Zahlen n​ennt man hochzusammengesetzte Zahlen.

Die Funktion, die einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ die Anzahl ihrer Teiler zuordnet, ist eine zahlentheoretische Funktion (die Teileranzahlfunktion). In der elementaren Zahlentheorie ist der Begriff Teilbarkeit auf natürliche Zahlen beschränkt.

In d​er Algebra dagegen w​ird der Begriff Teilbarkeit a​uf Integritätsringe, kommutative Ringe u​nd nicht-kommutative Ringe erweitert.

Formale Definition

Eine ganze Zahl ${\displaystyle a}$ teilt eine ganze Zahl ${\displaystyle b}$ genau dann, wenn es eine ganze Zahl ${\displaystyle n}$ gibt, für die ${\displaystyle a\cdot n=b}$ ist. Man sagt dann „${\displaystyle a}$ ist Teiler von ${\displaystyle b}$“, „${\displaystyle a}$ teilt ${\displaystyle b}$“, „${\displaystyle b}$ ist teilbar durch ${\displaystyle a}$“, oder „${\displaystyle b}$ ist ein Vielfaches von ${\displaystyle a}$“ und schreibt formal:

${\displaystyle a\mid b}$.

Für das Gegenteil, wenn es also keine ganze Zahl ${\displaystyle n}$ gibt, für die ${\displaystyle a\cdot n=b}$ ist, schreibt man:

${\displaystyle a\nmid b}$.

Insbesondere für Primzahlpotenzen gibt es die Sprechweise: ${\displaystyle p^{n}}$ teilt die ganze Zahl ${\displaystyle b}$ exakt, geschrieben

${\displaystyle p^{n}\parallel b,}$

wenn ${\displaystyle p^{n}}$ die größte Potenz der Primzahl ${\displaystyle p}$ ist, die ${\displaystyle b}$ teilt, in Formeln: ${\displaystyle p^{n}\mid b\;\;\wedge \;\;p^{n+1}\nmid b}$ ; Beispiel: ${\displaystyle 8\parallel 40.}$ Die exakte Teilbarkeit von ${\displaystyle b}$ durch ${\displaystyle p^{n}=:a}$ hat die Teilerfremdheit von ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$ und ${\displaystyle a}$ zur Folge, in Formeln: ${\displaystyle \operatorname {ggT} ({\tfrac {b}{a}},a)=1.}$[1] Die letztere Definition geht über Primzahlpotenzen hinaus; Beispiel: ${\displaystyle 40\parallel 120.}$

Folgerungen

Da ${\displaystyle 0\cdot n=0}$ für alle ${\displaystyle n}$ gilt, ist ${\displaystyle 0}$ ein Teiler von ${\displaystyle 0}$ und von keiner anderen Zahl, also ${\displaystyle 0\nmid b}$ für jedes ${\displaystyle b\neq 0.}$

Schreibt man denselben Sachverhalt in der Form ${\displaystyle a\cdot 0=0}$, so erkennt man, dass jede Zahl ${\displaystyle a}$ ein Teiler von ${\displaystyle 0}$ ist.

Die ${\displaystyle 1}$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d. h. die Multiplikation mit ${\displaystyle 1}$ ändert einen Ausgangswert nicht. Zu den Elementen ${\displaystyle e=\pm 1}$ gibt es ein multiplikatives Inverses, nämlich ein Element ${\displaystyle e'\;(=e)}$ mit ${\displaystyle e\cdot e'=1}$. Solche Elemente werden Einheiten des Rings genannt. Einheiten sind triviale Teiler einer jeden ganzen Zahl. Die Einheiten des Rings ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen sind gerade die Zahlen ${\displaystyle \pm 1}$. (Die Einheiten eines Rings bilden eine multiplikative Gruppe.)

Es gelte ${\displaystyle a\mid b}$ und ${\displaystyle b\neq 0}$. Ist ${\displaystyle a}$ keiner der trivialen Teiler ${\displaystyle \pm 1,\pm b}$, so nennt man ${\displaystyle a}$ einen nichttrivialen Teiler oder echten Teiler von ${\displaystyle b}$. Eine ganze Zahl, die nicht Einheit ist und die nur die trivialen Teiler besitzt, nennt man Primelement und, wenn sie ${\displaystyle >1}$ ist, Primzahl. Ist ${\displaystyle a}$ eine Primzahl, so heißt ${\displaystyle a}$ Primteiler oder Primfaktor von ${\displaystyle b}$.

Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ nennt man die „Teilermenge von ${\displaystyle n}$“. Die Quasiordnung der Teilbarkeit induziert auf ihr die Struktur eines Verbandes, man spricht deshalb auch vom „Teilerverband von ${\displaystyle n}$“.

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ heißt entsprechend Vielfachenmenge. Bei den ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist die Mächtigkeit dieser Menge abzählbar unendlich.

Eigenschaften der Teilbarkeit

• Jede Zahl besitzt mindestens ihre trivialen Teiler, insbesondere sind die Einheiten ${\displaystyle \pm 1}$ Teiler einer jeden ganzen Zahl.
• Jede ganze Zahl ist ein (trivialer) Teiler der ${\displaystyle 0}$.
• Jede ganze Zahl teilt sich selbst (Reflexivität der Quasiordnung).
• Der kleinste positive Teiler ${\displaystyle \neq 1}$ einer ganzen Zahl ist ein Primteiler.

Seien ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ und ${\displaystyle d}$ ganze Zahlen.

• Gilt ${\displaystyle a\mid b}$, so gilt auch ${\displaystyle -a\mid b}$ und ${\displaystyle a\mid -b}$. Man kann sich also bei der Untersuchung des Teilbarkeitsbegriffs auf natürliche Zahlen beschränken.
• Gilt ${\displaystyle a\mid b}$ und ${\displaystyle b\mid c}$, so folgt ${\displaystyle a\mid c}$ (Transitivität der Quasiordnung).
• Für ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$ gilt: ${\displaystyle a\mid b\Leftrightarrow ka\mid kb}$.
• Gilt ${\displaystyle a\mid b}$ und ${\displaystyle c\mid d}$, so gilt auch ${\displaystyle ac\mid bd}$.
• Gilt ${\displaystyle a\mid b}$ und ${\displaystyle a\mid c}$, so gilt auch ${\displaystyle a\mid kb+lc}$ für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle l}$.
• Gilt ${\displaystyle a\mid b}$ und ${\displaystyle b\mid a}$ so ist ${\displaystyle a=b}$ oder ${\displaystyle a=-b}$.

Die natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ sind mit der Teilbarkeitsrelation eine quasigeordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die ${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle 1}$ teilt jedes andere), das größte ist die ${\displaystyle 0}$ (${\displaystyle 0}$ wird von jedem anderen geteilt).

Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem

Siehe auch: Dezimalsystem

Zweier-Potenzen

• Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8).
• Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch ${\displaystyle 2^{n}}$ teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten ${\displaystyle n}$ Ziffern gebildet wird, durch ${\displaystyle 2^{n}}$ teilbar ist.

Fünfer-Potenzen

• Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
• Eine Zahl ist genau dann durch 25 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 25 teilbar ist (00, 25, 50 oder 75).
• Eine Zahl ist genau dann durch 125 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 125 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch ${\displaystyle 5^{n}}$ teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten ${\displaystyle n}$ Ziffern gebildet wird, durch ${\displaystyle 5^{n}}$ teilbar ist.

Zehner-Potenzen

• Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 100 teilbar, wenn die Zahl mit 00 endet.
• Eine Zahl ist genau dann durch 1000 teilbar, wenn die Zahl mit 000 endet.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch ${\displaystyle 10^{n}}$ teilbar, wenn ihre letzten ${\displaystyle n}$ Ziffern jeweils 0 sind.

Produkte aus Zweier- und Fünfer-Potenzen

• Eine Zahl ist genau dann durch 20 teilbar, wenn ihre vorletzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8) und ihre letzte Ziffer 0 ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 40 teilbar, wenn die Zahl, die aus der drittletzten und vorletzten Ziffer gebildet wird, durch 4 teilbar ist und die letzte Ziffer eine 0 ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 50 teilbar, wenn die Zahl auf 00 oder 50 endet.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch ${\displaystyle 2^{m}5^{n}}$ teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten ${\displaystyle \max(m,n)}$ Ziffern gebildet wird, durch ${\displaystyle 2^{m}5^{n}}$ teilbar ist.

Teilbarkeitsregeln basierend auf Quersummen

Will man für eine Zahl ${\displaystyle x}$ eine Teilbarkeitsregel mit Quersummen aufstellen, so sucht man nach einem Vielfachen, das entweder ${\displaystyle 10^{n}-1}$ oder ${\displaystyle 10^{n}+1}$ für ein beliebiges ${\displaystyle n}$ ist. Im ersten Fall kann die Teilbarkeit mit der nichtalternierenden ${\displaystyle n}$-Quersumme, im zweiten Fall mit der alternierenden ${\displaystyle n}$-Quersumme überprüft werden.

Entsprechende Faktoren existieren für a​lle Zahlen, d​ie mit 10 teilerfremd sind. Allerdings i​st die Prüfung z​um Teil s​chon für relativ kleine Zahlen unpraktisch (siehe z​um Beispiel d​ie unten angegebenen Regeln für Teilbarkeit d​urch 17 u​nd 19).

Teilbarkeitsregeln basierend auf nichtalternierenden Quersummen

Ist ${\displaystyle 10^{n}-1}$ ein Vielfaches der betrachteten Zahl ${\displaystyle x}$, dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch ${\displaystyle x}$ teilbar, wenn ihre nichtalternierende ${\displaystyle n}$-Quersumme durch ${\displaystyle x}$ teilbar ist.“

Beispielsweise ist ${\displaystyle 9=10^{1}-1}$ ein Vielfaches von 3, so dass die Teilbarkeit durch 3 anhand der (1er-)Quersumme geprüft werden kann.

• Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist. Es gibt auch eine Teilbarkeitsregel mit der alternierenden Quersumme (siehe unten).
• Eine Zahl ist genau dann durch 21 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 6er-Quersumme durch 21 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 27 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 27 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 33 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 33 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 37 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 37 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 41 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 5er-Quersumme durch 41 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 99 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 99 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 111 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 111 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 333 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 333 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 999 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 999 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch ${\displaystyle 9\dotso 9=10^{n}-1}$ teilbar, wenn ihre nichtalternierende ${\displaystyle n}$-Quersumme durch ${\displaystyle 10^{n}-1}$ teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch ${\displaystyle \textstyle 1\dotso 1=\sum _{k=0}^{n-1}10^{k}}$ (Repunitzahl) teilbar, wenn ihre nichtalternierende ${\displaystyle n}$-Quersumme durch ${\displaystyle 1\dotso 1}$ teilbar ist.

Die Quersumme muss nicht vollständig berechnet werden, sondern es genügt, den Rest einer Ziffer (oder Zifferngruppe) bei Division durch ${\displaystyle x}$ zu berücksichtigen. Es kann auch nach jeder Addition der Rest bei Division durch ${\displaystyle x}$ berechnet werden. Um z. B. zu ermitteln, ob 7654 durch 3 teilbar ist, kann man rechnen:

• Ziffer 7: Rest bei Division durch 3 ist 1: Summe 1 (Quersumme ${\displaystyle 7=2\cdot 3+1}$)
• Ziffer 6: Rest bei Division durch 3 ist 0: Summe 1 ändert sich nicht (Quersumme ${\displaystyle 13=4\cdot 3+1}$)
• Ziffer 5: diesmal ohne Bestimmung des Rests: Summe 1+5=6, Rest bei Division durch 3 ist 0 (Quersumme ${\displaystyle 18=6\cdot 3+0}$)
• Ziffer 4: Summe 0+4=4, Rest bei Division durch 3 ist 1 (Quersumme ${\displaystyle 22=7\cdot 3+1}$)

Da d​er im letzten Schritt berechnete Rest n​icht Null ist, i​st 7654 n​icht durch 3 teilbar.

Teilbarkeitsregeln basierend auf alternierenden Quersummen

Ist hingegen ${\displaystyle 10^{n}+1}$ ein Vielfaches der betrachteten Zahl ${\displaystyle x}$, dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch ${\displaystyle x}$ teilbar, wenn ihre alternierende ${\displaystyle n}$-Quersumme durch ${\displaystyle x}$ teilbar ist.“

Betrachtet man beispielsweise die Zahl 7, so kann man durch Ausprobieren sehen, dass ${\displaystyle 7\cdot 143=1001=10^{3}+1}$. Daraus ergibt sich dann die Teilbarkeitsregel mit einer alternierenden 3er-Quersumme.

• Eine Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Es gibt auch eine Teilbarkeitsregel mit der nichtalternierenden 2er-Quersumme (siehe oben).
• Eine Zahl ist genau dann durch 13 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 13 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 17 teilbar, wenn ihre alternierende 8er-Quersumme durch 17 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 19 teilbar, wenn ihre alternierende 9er-Quersumme durch 19 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 23 teilbar, wenn ihre alternierende 11er-Quersumme durch 23 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 73 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 73 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 77 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 77 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 91 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 91 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 101 teilbar, wenn ihre alternierende 2er-Quersumme durch 101 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 137 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 137 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 143 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 143 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 1001 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 1001 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch ${\displaystyle 100\dotso 001=10^{n}+1}$ teilbar, wenn ihre alternierende ${\displaystyle n}$-Quersumme durch ${\displaystyle 10^{n}+1}$ teilbar ist.

Teilbarkeit durch 7

Neben der schon genannten Teilbarkeitsregel mittels der alternierenden 3er-Quersumme gibt es für die 7 weitere, teils einfachere, Teilbarkeitsregeln. Diese ergeben sich aus der Betrachtung von Vielfachen der Zahl, die nah an 10er-Potenzen liegen, also beispielsweise im nächsten Beispiel ${\displaystyle 14\cdot 7=98}$. Man zieht wiederholt 98 ab, wodurch sich die Hunderter um 1 verringern, die Einer aber um zwei erhöhten (${\displaystyle 98=100-2}$). Im Babylonischen Talmud findet sich die Teilbarkeitsregel, bei der man letztlich nur überprüfen muss, ob eine zweistellige Zahl durch 7 teilbar ist, in folgender Form:[2][3] Eine Zahl wird an der vorletzten Stelle in zwei Teile aufgespalten. Die Ziffern vor der vorletzten Stelle bilden die Zahl ${\displaystyle a}$ und die letzten beiden Ziffern die Zahl ${\displaystyle b}$. 3815 wird beispielsweise in die Zahlen ${\displaystyle a=38}$ und ${\displaystyle b=15}$ zerlegt. Nun zählt man ${\displaystyle b}$ und das Doppelte von ${\displaystyle a}$ zusammen. Ist die Summe durch 7 teilbar, so ist auch die ursprüngliche Zahl durch 7 teilbar. Für 3815 erhält man so ${\displaystyle 2\cdot a+b=2\cdot 38+15=91}$. Da 91 durch 7 teilbar ist, ist auch 3815 durch 7 teilbar. Bei sehr großen Zahlen kann man dieses Verfahren solange wiederholen, bis man irgendwann eine zweistellige Zahl erhält. Um die Gültigkeit der Teilbarkeitsregel zu zeigen, betrachtet man die Gleichung

${\displaystyle n=100\cdot a+b=98\cdot a+2\cdot a+b}$

Da 98 und damit auch ${\displaystyle 98\cdot a}$ durch 7 teilbar ist, ist ${\displaystyle n}$ genau dann durch 7 teilbar, wenn ${\displaystyle 2\cdot a+b}$ durch 7 teilbar ist.

Für eine weitere Teilbarkeitsregel spaltet man eine Zahl in ihre letzte Ziffer ${\displaystyle b}$ und den Rest ${\displaystyle a}$ auf. Zum Beispiel 3815 in die Zahlen ${\displaystyle a=381}$ und ${\displaystyle b=5}$. Dann gilt folgender Satz:

Eine Zahl ${\displaystyle n=10\cdot a+b}$ ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihr Doppeltes ${\displaystyle 2\cdot n=20\cdot a+2\cdot b=21\cdot a-(a-2\cdot b)}$ durch 7 teilbar ist, weswegen man lediglich die Teilbarkeit von ${\displaystyle a-2\cdot b}$ prüfen muss.

Für 3815 muss man also überprüfen, ob ${\displaystyle 381-2\cdot 5=371}$ durch 7 teilbar ist. Dazu kann man 371 wieder in 37 und 1 zerlegen. Da ${\displaystyle 37-2\cdot 1=35=5\cdot 7}$ durch 7 teilbar ist, sind auch 371 und 3815 durch 7 teilbar.[4] Die Begründung dieser Methode ist, dass 21 durch 7 teilbar ist und um die Einer am Ende der Zahl auf 0 zu bringen, für jeden Einer zwei Zehner abgezogen werden müssen. Danach teilt man die entstehende Zahl dann noch durch Zehn. Ist die Zahl durch 21 teilbar, so ist der Rest bei dieser Methode also 0.

Man kann eine Zahl ${\displaystyle n}$ auch vor der drittletzten Ziffer spalten, so dass die letzten drei Ziffern die Zahl ${\displaystyle a}$ und die Ziffern davor die Zahl ${\displaystyle b}$ bilden. Dann zieht man ${\displaystyle b}$ von ${\displaystyle a}$ ab und prüft, ob diese Differenz durch 7 teilbar ist. Da

${\displaystyle n=1000\cdot b+a=1001\cdot b+(a-b)}$

und ${\displaystyle 1001\cdot b}$ durch 7 teilbar ist, ist ${\displaystyle n}$ genau dann durch 7 teilbar, wenn ${\displaystyle a-b}$ durch 7 teilbar ist.

Teilbarkeit durch 17

Ein Verfahren, u​m die Teilbarkeit d​urch 17 festzustellen, beruht a​uf der Identität 17 · 6 = 102. Deswegen gilt

${\displaystyle 100\cdot a+b=102\cdot a-2\cdot a+b\equiv -2\cdot a+b\mod 17}$

Man spaltet also die zu prüfende Zahl ${\displaystyle n}$ vor der vorletzten Stelle in zwei Teile, nimmt das Doppelte des linken Teils und zieht den rechten Teil ab (oder umgekehrt). Ist das Resultat durch ${\displaystyle 17}$ teilbar, so gilt dies auch für ${\displaystyle n}$.

Beispiel: ${\displaystyle 5831=17\cdot 343}$. Also ${\displaystyle 2\cdot 58-31=85}$, was durch 17 teilbar ist.

Teilbarkeit durch 19

Um die Teilbarkeit durch 19 zu überprüfen, spaltet man eine Zahl in ihre letzte Ziffer ${\displaystyle b}$ und den Rest ${\displaystyle a}$ auf. Zum Beispiel 7904 in die Zahlen ${\displaystyle a=790}$ und ${\displaystyle b=4}$. Dann gilt folgender Satz:

Eine Zahl ${\displaystyle 10\cdot a+b}$ ist genau dann durch 19 teilbar, wenn ${\displaystyle a+2\cdot b}$ durch 19 teilbar ist.[5]

Für 7904 muss man also überprüfen, ob ${\displaystyle 798=790+2\cdot 4}$ durch 19 teilbar ist. Dazu kann man 798 wieder in 79 und 8 zerlegen. Da ${\displaystyle 79+2\cdot 8=95=5\cdot 19}$ durch 19 teilbar ist, sind auch 798 und 7904 durch 19 teilbar.

Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen

Um die Teilbarkeit durch eine beliebige Zahl ${\displaystyle n}$ zu überprüfen, verwendet man deren Primfaktorzerlegung. Man überprüft dann die Teilbarkeit durch die einzelnen Primzahlpotenzen dieser Zerlegung.

Beispielsweise ist eine Zahl genau dann durch ${\displaystyle 75=3\cdot 5^{2}}$ teilbar, wenn sie durch ${\displaystyle 5^{2}=25}$ und 3 teilbar ist. Das heißt, ihre letzten beiden Ziffern müssen 00, 25, 50 oder 75 sein und die Quersumme durch drei teilbar sein. Bei multiplikativ zusammengesetzten Zahlen ist die Teilbarkeit eines beliebigen Teilfaktors hinreichend, so ist bspw. ${\displaystyle ((-1)^{n}+2^{(1+n)})\cdot (1+(-1)^{n}\cdot 2^{(2+n)}+5\cdot 2^{(3+2n)})\cdot (1+(-1)^{n}\cdot 2^{(2+n)}-2^{(5+2n)}),0\leq n}$ durch ${\displaystyle 5}$ teilbar, wobei hier die Teilbarkeit der drei Faktoren 4-zyklisch in n ist.

Vergleiche a​uch Teilbarkeit für a​lle zu 10 teilerfremden Divisoren.

Teilbarkeitsregeln in beliebigen Zahlensystemen

In einem Zahlensystem zur Basis ${\displaystyle B}$ lassen sich Teilbarkeitsregeln für Teiler ${\displaystyle T}$ finden, die sich in eine teilerfremde Faktorenzerlegung möglichst kleiner Zahlen zerlegen lässt, die Teiler von ${\displaystyle B^{n}}$, ${\displaystyle B^{n}-1}$ oder ${\displaystyle B^{n}+1}$ sind. ${\displaystyle n}$ sollte dabei möglichst klein sein, für Kopfrechnen sind nur Werte bis maximal 4 sinnvoll.

${\displaystyle B=2}$: Teiler 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 21, 31, 32, 33, 63, 64, 65, …

${\displaystyle B=3}$: Teiler 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 20, 26, 27, 28, 40, 41, 80, 81, 82, …

${\displaystyle B=4}$: siehe ${\displaystyle B=2}$

${\displaystyle B=5}$: Teiler 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 18, 24, 25, 26, 31, 39, 62, 63, 78, 124, 125, 126, 156, 312, 313, 624, 625, 626, …

Die folgenden Teilbarkeitsregeln benutzen andere Stellenwertsysteme:

• Eine Zahl ist durch eine Zahl der Form ${\displaystyle 2^{n}-1}$ teilbar genau dann, wenn bei der Darstellung zur Basis ${\displaystyle 2^{n}}$ die Quersumme durch ${\displaystyle 2^{n}-1}$ teilbar ist. Die Darstellung zur Basis ${\displaystyle 2^{n}}$ ergibt sich leicht aus der Darstellung der Zahl im Dualsystem. Dazu wird die Zahl rechts beginnend in Gruppen von ${\displaystyle n}$ Stellen eingeteilt, der Dezimalwert der einzelnen Gruppen entspricht nun den Werten der Ziffern in der Darstellung zur Basis ${\displaystyle 2^{n}}$. Zum Beispiel ist ${\displaystyle 91_{10}}$ durch ${\displaystyle 7_{10}=2^{3}-1}$ teilbar, weil ${\displaystyle 91_{10}=001011011_{2}=133_{8}}$ im Oktalsystem (Basis ${\displaystyle 2^{3}}$) die Quersumme ${\displaystyle 1_{8}+3_{8}+3_{8}=7_{10}}$ hat.
• Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme zur Basis 1000 durch 27 teilbar ist. Diese Quersumme kann man erhalten, indem man ihre dezimale Darstellung rechts beginnend in Dreierblöcke einteilt und die Summe dieser Blöcke bildet.
• Eine Zahl ist durch ${\displaystyle n}$ teilbar genau dann, wenn ihre Darstellung als ${\displaystyle n}$-basische Zahl mit einer 0 endet.

Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet m​an im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).

Verallgemeinerung des Teilbarkeitsbegriffs

Kommutative Ringe

Der Teilbarkeitsbegriff w​ird auch wesentlich allgemeiner i​n kommutativen Ringen betrachtet. Die Definition v​on Teilbarkeit i​n natürlichen u​nd ganzen Zahlen w​ird hier direkt übernommen:

Es sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring. Sind ${\displaystyle a,b\in R}$ Ringelemente, dann ist ${\displaystyle a}$ ein Teiler von ${\displaystyle b}$, falls ein weiteres Ringelement ${\displaystyle n\in R}$ mit ${\displaystyle a\cdot n=b}$ existiert.

In Ringen teilt ${\displaystyle a}$ genau dann ${\displaystyle b}$, wenn das von ${\displaystyle a}$ erzeugte Hauptideal ${\displaystyle (a)}$ das von ${\displaystyle (b)}$ erzeugte umfasst, formal: ${\displaystyle a\mid b\Leftrightarrow (a)\supseteq (b)}$.

Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von ${\displaystyle 2}$ erzeugte Hauptideal ${\displaystyle (2)}$ ist die Menge aller Vielfachen von ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle (4)}$ dementsprechend die Menge aller Vielfachen von ${\displaystyle 4}$. ${\displaystyle (2)\supseteq (4)}$, also ist ${\displaystyle 2}$ ein Teiler von ${\displaystyle 4}$.

Die fruchtbarsten Teilbarkeitseigenschaften erhält m​an in Integritätsringen, d​as sind nullteilerfreie kommutative unitäre Ringe.

Nicht-kommutative Ringe

Bei nicht-kommutativen Ringen ${\displaystyle R\,}$ muss man bei der Teiler- und Vielfachen-Eigenschaft die Seitigkeit (linke, rechte oder zweiseitige) mit angeben. Dies lässt sich mit dem einfachen Teilbarkeitssymbol „${\displaystyle \mid }$“ (dessen symmetrische Gestalt schon einer Spiegelung mit inverser Bedeutung im Wege steht) des kommutativen Falls nicht mehr ausdrücken.

Von zwei Elementen ${\displaystyle a,b\in R}$ heißt ${\displaystyle a\,}$ linker Teiler von ${\displaystyle b\,}$, falls ein ${\displaystyle x\in R}$ mit ${\displaystyle b=a\cdot x}$ existiert. Dann ist auch ${\displaystyle b\,}$ rechtes Vielfaches von ${\displaystyle a\,}$. Diese Teilbarkeit entspricht der Inklusion der Rechtsideale ${\displaystyle b\cdot R\subseteq a\cdot R}$. Entsprechend definiert man rechten Teiler, linkes Vielfaches und, wenn für links wie rechts gültig, auch zweiseitigen Teiler, zweiseitiges Vielfaches.

Körper

In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielsweise in den reellen Zahlen, ist die Theorie der Teilbarkeit trivial: Jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) ist durch jede andere Zahl außer ${\displaystyle 0}$ teilbar, d. h. auch: alle von 0 verschiedenen Elemente sind Einheiten.

Siehe auch

• Modulo
• Teilersumme, Teilerbild, Teilerfremdheit
• gemeinsamer Teiler, größter gemeinsamer Teiler

Quellen

• Fritz Reinhardt: dtv-Atlas Schulmathematik. Deutscher Taschenbuch-Verlag, München 2002, ISBN 3-423-03099-2.
• Eric W. Weisstein: Divisibility tests auf Mathworld (engl.)
• https://www.olympiade-mathematik.de/pdf/saetze/teilb.pdf
• Universität Ulm: H. Maier, H.-P. Reck: Elementare Zahlentheorie

Weblinks

• Video: Quersummenregeln. Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHHD) 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19797.

Einzelnachweise

1. Erläuterung zu Folge A274469 in OEIS
2. Babylonischer Talmud, Aboda Sara 9b. Vgl. Benedict Zuckermann: Das Mathematische im Talmud. Beleuchtung und Erläuterung der Talmudstellen mathematischen Inhalts. Breslau 1878. (Jahresbericht des Jüdisch-theologischen Seminars „Fraenckel'scher Stiftung“.), S. 62–63.
3. Vgl. Leonard E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume I: Divisibility and Primality. Dover Publications, ISBN 978-0-486-44232-7, S. 337.
4. Siegfried Moser: Mit Zahlen spielen. Humboldt-Taschenbuchverlag, München 1992.
5. Beweis der Teilbarkeit durch 19