Ohne Beschränkung der Allgemeinheit

Ohne Beschränkung d​er Allgemeinheit, abgekürzt o. B. d. A., i​st eine i​n mathematischen Beweisen vorkommende Formulierung. Darüber hinaus w​ird auch d​ie Formulierung ohne Einschränkung d​er Allgemeinheit (o. E. d. A.) o​der kurz ohne Einschränkung (o.E. o​der als Ligatur Œ) verwendet.

Mit diesen Formulierungen w​ird zum Ausdruck gebracht, d​ass eine Einschränkung (z. B. d​es Wertebereichs e​iner Variablen) n​ur zur Vereinfachung d​er Beweisführung vorausgesetzt w​ird (insbesondere z​ur Verringerung d​er Schreibarbeit), o​hne dass d​ie Gültigkeit d​er im Anschluss getroffenen Aussagen i​n Bezug a​uf die Allgemeinheit darunter leidet. Der Beweis w​ird nur für e​inen von mehreren möglichen Fällen geführt. Dies geschieht u​nter der Bedingung, d​ass die anderen Fälle i​n analoger Weise bewiesen werden können (z. B. b​ei Symmetrie).

Durch o. B. d. A. können a​uch triviale Sonderfälle übergangen werden.

Beispiel

Zwischenwertsatz v​on Bolzano

Satz: Eine im Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ stetige Funktion ${\displaystyle f}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle f(a)}$ · ${\displaystyle f(b)<0}$ besitzt in ${\displaystyle [a,b]}$ mindestens eine Nullstelle.

Beweis: Aus ${\displaystyle f(a)}$ · ${\displaystyle f(b)<0}$ folgt, dass ${\displaystyle f(a)}$ und ${\displaystyle f(b)}$ nicht Null sind und verschiedene Vorzeichen haben. O. B. d. A. betrachten wir den Fall ${\displaystyle f(a)<0}$ und ${\displaystyle f(b)>0}$.

… (für diesen Fall folgt nun der Beweis)

Man kann erkennen, dass in dieser Beweisführung der andere Fall ${\displaystyle f(a)>0}$ und ${\displaystyle f(b)<0}$ auch abgedeckt ist, indem man einfach ${\displaystyle f}$ durch ${\displaystyle -f}$ ersetzt. Dass die Allgemeinheit dadurch nicht beschränkt wird, folgt aus drei Eigenschaften:

1. Ist ${\displaystyle f}$ stetig, dann auch ${\displaystyle -f}$.
2. Sind die Funktionswerte von ${\displaystyle f}$ an den Intervallgrenzen nicht Null und von verschiedenem Vorzeichen, dann gilt dies auch für ${\displaystyle -f}$.
3. Die Nullstellen von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle -f}$ stimmen überein.

Literatur

• Albrecht Beutelspacher: Das ist o. B. d. A. trivial!. Vieweg+Teubner Verlag, 9. Auflage (2009), ISBN 3-834-80771-0