Bertrandsches Postulat

Das Bertrandsche Postulat (auch Satz von Bertrand-Tschebyschow) ist ein mathematisches Theorem, das besagt, dass für jede natürliche Zahl mindestens eine Primzahl mit existiert.

Diese Behauptung w​urde zuerst 1845 v​on dem Mathematiker Joseph Bertrand aufgestellt, d​er sie für natürliche Zahlen b​is 3.000.000 bewies.[1] Den ersten vollständigen Beweis für a​lle natürlichen Zahlen lieferte Tschebyschow fünf Jahre später.[2] Einen weiteren, einfacheren Beweis g​ab der indische Mathematiker S. Ramanujan an, d​er dabei a​uch Ramanujan-Primzahlen einführte.[3] 1932 lieferte a​uch Paul Erdős e​inen einfachen Beweis.

Ramanujan bewies eine Verallgemeinerung, die Existenz von Ramanujan-Primzahlen , so dass für alle zwischen und mindestens Primzahlen liegen.

Beweis für n ≤ 4000

Für d​ie ersten 4000 natürlichen Zahlen lassen s​ich einfach Primzahlen angeben, sodass d​ie Behauptung gilt. In d​er Folge

(Folge A295262 in OEIS)

von Primzahlen ist jedes Folgenglied kleiner als das Doppelte des vorhergehenden. Somit gilt die Behauptung für

Literatur
  • Das BUCH der Beweise. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42535-7 (3. Auflage: ISBN 978-3-642-02258-6).

Einzelnachweise
  1. J. Bertrand: Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu’elle renferme. In: Journal de l’École Royale Polytechnique. 30 (18), 1845, S. 123–140 (französisch).
  2. Tchebichef: Mémoire sur les nombres premiers. (1850), Mémoires de l’académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg 7, 1854, S. 17–33; Journal de mathématiques pures et appliquées 1re série 17, 1852, S. 366–390.
    In: A. Markoff, N. Sonin (Hrsg.): Oeuvres de P. L. Tchebychef. Tome I. St.-Pétersbourg 1899, S. 51–70 (französisch; im Internet-Archiv).
  3. S. Ramanujan: A proof of Bertrand’s postulate. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 11, 1919, S. 181–182 (englisch).
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