C*-Algebra

C*-Algebren werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis untersucht. Sie s​ind in d​er mathematischen Physik entstanden. Es handelt s​ich um e​ine Abstraktion d​er beschränkten linearen Operatoren a​uf einem Hilbertraum, s​ie spielen d​aher in d​er mathematischen Beschreibung d​er Quantenmechanik e​ine Rolle. C*-Algebren s​ind spezielle Banachalgebren, b​ei denen e​in enger Zusammenhang zwischen algebraischen u​nd topologischen Eigenschaften besteht; d​ie Kategorie d​er lokalkompakten Räume erweist s​ich als äquivalent z​ur Kategorie d​er kommutativen C*-Algebren, d​aher wird d​ie Theorie d​er C*-Algebren a​uch als nichtkommutative Topologie angesehen. Sofern e​ine solche nichtkommutative Topologie v​on einer Metrik induziert wird, w​ird diese d​urch das relativ n​eue Forschungsfeld d​er nichtkommutativen Geometrie erfasst, welches i​n den 1990er Jahren v​on Alain Connes begründet wurde.

Definition und Eigenschaften

Eine C*-Algebra über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist eine Banachalgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ mit einer Involution ${\displaystyle ^{*}\colon {\mathcal {A}}\ni a\mapsto a^{*}\in {\mathcal {A}}}$ mit folgenden Eigenschaften

${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}:(a^{*})^{*}=a}$	(involutiv)
${\displaystyle \forall a,b\in {\mathcal {A}}:(ab)^{*}=b^{*}a^{*}}$	(anti-multiplikativ)
${\displaystyle \forall a,b\in {\mathcal {A}}:\forall z,w\in \mathbb {K}$ :(za+wb)^{*}={\overline {z}}a^{*}+{\overline {w}}b^{*}}	(semilinear, anti-linear oder konjugiert linear)
${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}:\left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}}$	(C*-Eigenschaft)

Aus d​er C*-Eigenschaft folgt, d​ass die Involution isometrisch ist, w​as sie zusammen m​it den ersten d​rei Eigenschaften d​er C*-Algebra z​u einer Banach-*-Algebra (= involutiven Banachalgebra) macht.

Man spricht von einer kommutativen C*-Algebra, wenn die Multiplikation kommutativ ist. Die meisten Autoren verstehen unter einer C*-Algebra stets eine ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Banachalgebra und schreiben genauer reelle C*-Algebra, wenn auch ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Banachalgebren zugelassen sind.

Standardbeispiele; die Sätze von Gelfand-Neumark und von Gelfand-Neumark-Segal

→ Hauptartikel: Satz von Gelfand-Neumark

Das bekannteste Beispiel einer C*-Algebra ist die Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ und allgemeiner jede in der Normtopologie abgeschlossene selbstadjungierte Unteralgebra von ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$. Umgekehrt besitzt nach dem Satz von Gelfand-Neumark-Segal jede C*-Algebra diese Form, ist also zu einer normabgeschlossenen selbstadjungierten Unteralgebra eines ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ isomorph.

Die komplexwertigen, stetigen und im Unendlichen verschwindenden Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ bilden bezüglich der Supremumsnorm und der komplexen Konjugation als Involution eine kommutative C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}({\mathcal {X}})}$. Der Satz von Gelfand-Neumark besagt, dass jede kommutative C*-Algebra zu einer solchen Algebra von Funktionen isomorph ist.

Weitere Eigenschaften von C*-Algebren

Homomorphismen zwischen C*-Algebren

Sind ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ C*-Algebren, dann heißt eine Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ *-Homomorphismus, falls sie linear, multiplikativ und mit der Involution verträglich ist.

Jeder *-Homomorphismus ${\displaystyle \varphi }$ ist kontrahierend, das heißt, es gilt ${\displaystyle \left\|\varphi (a)\right\|\leq \left\|a\right\|}$ für beliebiges ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$, und daher insbesondere stetig.

Injektive *-Homomorphismen ${\displaystyle \varphi }$ sind automatisch isometrisch, das heißt, es gilt ${\displaystyle \left\|\varphi (a)\right\|=\left\|a\right\|}$ für beliebiges ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$.

Endlichdimensionale C*-Algebren

Die Algebren der komplexen ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen ${\displaystyle M_{n}}$, die mit den linearen Operatoren auf ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ identifiziert werden können, bilden mit der Operatornorm eine C*-Algebra. Man kann zeigen, dass jede endlichdimensionale C*-Algebra zu einer direkten Summe solcher Matrixalgebren isomorph ist.

Konstruktion neuer C*-Algebren aus vorgegebenen

• Direkte Summen, direkte Produkte, induktive Limites von C*-Algebren sind mit einer geeigneten Normdefinition wieder C*-Algebren.

• Es gibt eine minimale und eine maximale Möglichkeit, Tensorprodukte von C*-Algebren zu C*-Algebren zu vervollständigen, siehe „Räumliches Tensorprodukt“ und „Maximales Tensorprodukt“.

• Im Artikel über duale C*-Algebren werden eingeschränkte Produkte definiert.

• Ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal ist automatisch bzgl. der Involution abgeschlossen und die Quotientenalgebra ist mit der Quotientennorm wieder eine C*-Algebra.

• Aus einem C*-dynamischen System ${\displaystyle ({\mathcal {A}},{\mathcal {G}},\alpha )}$ lassen sich weitere C*-Algebren konstruieren, das Kreuzprodukt ${\displaystyle {\mathcal {A}}\ltimes _{\alpha }{\mathcal {G}}}$ und das reduzierte Kreuzprodukt ${\displaystyle {\mathcal {A}}\ltimes _{\alpha r}{\mathcal {G}}}$.

Einselemente

C*-Algebren müssen k​ein Einselement haben. Man k​ann aber s​tets ein Einselement adjungieren o​der als Ersatz für e​in fehlendes Einselement e​ine beschränkte Approximation d​er Eins verwenden, d​ie es i​n jeder C*-Algebra gibt.

Hilbertraum-Darstellungen

→ Hauptartikel: Hilbertraum-Darstellung

Ist ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ein Hilbertraum, so nennt man einen *-Homomorphismus ${\displaystyle {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ eine Hilbertraum-Darstellung oder einfach Darstellung von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Die Theorie der Hilbertraum-Darstellungen ist ein wichtiges Instrument zur weitergehenden Untersuchung von C*-Algebren.

Beispiele und Spezialfälle von C*-Algebren

• Die kompakten Operatoren ${\displaystyle {\mathcal {K}}({\mathcal {H}})}$ auf einem Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ bilden eine C*-Unteralgebra von ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$. ${\displaystyle {\mathcal {K}}({\mathcal {H}})}$ ist ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$. Die Quotienten-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})/{\mathcal {K}}({\mathcal {H}})}$ heißt Calkin-Algebra.
• Von-Neumann-Algebren sind stark abgeschlossene *-Unteralgebren von ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$. Da die starke Operatortopologie gröber als die Normtopologie ist, sind die Von-Neumann-Algebren auch in der Normtopologie abgeschlossen und daher insbesondere C*-Algebren.
• Gruppen-C*-Algebren (= einhüllende C*-Algebra der Gruppenalgebra ${\displaystyle L^{1}(G)}$)
• Duale C*-Algebren (= C*-Algebren kompakter Operatoren)
• Liminale C*-Algebren (= CCR-Algebren)
• Postliminale C*-Algebren (= GCR-Algebren oder Typ-I-C*-Algebren), zum Beispiel die Toeplitz-Algebra
• UHF-Algebren, zum Beispiel die CAR-Algebra
• AF-C*-Algebren,
• Bunce-Deddens-Algebren
• Nukleare C*-Algebren,
• Irrationale Rotationsalgebra,
• Cuntz-Algebra,
• Cuntz-Krieger-Algebra,

Historische Bemerkungen

Eine B*-Algebra ist nach Gelfand und Neumark (1943) eine involutive Banachalgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (mit Einselement 1) mit den zwei Eigenschaften

1. ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}}$ für alle ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$,
2. ${\displaystyle 1+a^{*}a}$ ist für jedes ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ invertierbar.

Eine C*-Algebra wurde als eine normabgeschlossene und bezüglich der Involution abgeschlossene Unteralgebra der Algebra der Operatoren auf einem Hilbertraum definiert. Gelfand und Neumark konnten dann zeigen, dass jede B*-Algebra eine C*-Algebra ist. Die bereits von ihnen vermutete Redundanz der zweiten Bedingung konnte erst in den 1950er Jahren von M. Fukamiya und I. Kaplansky gezeigt werden. Der Begriff B*-Algebra als eine abstrakt definierte (d. h. nicht auf einem Hilbertraum dargestellte) Algebra ist durch den Satz von Gelfand-Neumark entbehrlich geworden, weshalb man den Begriff B*-Algebra nur noch in älterer Literatur finden kann.

Der Name C*-Algebra wurde durch die Veröffentlichung Irreducible representations of operator algebras (1947) des Mathematikers Irving Segal geprägt. Möglicherweise deutet das C in C*-Algebra darauf hin, dass C*-Algebren ein nichtkommutatives Analogon des Raums der stetigen Funktionen ${\displaystyle C(T)}$ sind und das Zeichen * betont die Bedeutung der Involution.[1]

Die C*-Bedingung ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ konnte in den 1960er Jahren weiter zu ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a^{*}\right\|\cdot \left\|a\right\|}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ abgeschwächt werden, was sich aus dem Satz von Vidav-Palmer, der seinerseits die C*-Algebren unter allen Banachalgebren charakterisiert, herleiten lässt. Diese Abschwächung der C*-Bedingung spielt in der Theorie der C*-Algebren allerdings keine besondere Rolle.

Verallgemeinerungen

In d​er Mathematischen Physik verallgemeinert m​an den Begriff z​um Zwecke d​er Behandlung allgemeiner physikalischer Observablen i​n der Quantenfeldtheorie, i​ndem man n​icht Hilbert- o​der Banachräume, sondern allgemeinere Gelfandsche Raumtripel voraussetzt (also a​uch distributionswertige Funktionale u. dgl. zulässt).

Siehe auch

• Erweiterung (C*-Algebra)
• KK-Theorie

Literatur

• W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0-387-90176-0
• J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983, ISBN 0-12-393301-3
• Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5
• M. Takesaki: Theory of Operator Algebras I (Springer 1979, 2002)
• I. Khavkine and V. Moretti: Algebraic QFT in Curved Spacetime and quasifree Hadamard states: an introduction, Univ. Trient, 2015, arxiv:1412.5945

Einzelnachweise

1. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, S. 5.