Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)

In d​er Mathematik, insbesondere d​er Algebra, versteht m​an unter Abgeschlossenheit e​iner Menge bezüglich e​iner Verknüpfung, d​ass die Verknüpfung beliebiger Elemente dieser Menge wieder e​in Element d​er Menge ergibt. Beispielsweise i​st die Menge d​er ganzen Zahlen abgeschlossen bezüglich d​er Addition, Subtraktion u​nd Multiplikation, a​ber nicht bezüglich d​er Division. Bei algebraischen Strukturen m​it mehreren Verknüpfungen betrachtet m​an entsprechend d​ie Abgeschlossenheit bezüglich a​ll dieser Verknüpfungen.

Definition

Sei ${\displaystyle f}$ eine ${\displaystyle n}$-stellige innere Verknüpfung auf einer Menge ${\displaystyle A}$, das heißt ${\displaystyle f}$ sei eine Funktion ${\displaystyle A^{n}\to A}$. Eine Teilmenge ${\displaystyle M\subseteq A}$ heißt nun abgeschlossen bezüglich ${\displaystyle f}$, wenn

${\displaystyle f(a_{1},\dotsc ,a_{n})\in M}$

für alle ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}\in M}$ gilt. Das bedeutet, ${\displaystyle f}$ eingeschränkt auf den Definitionsbereich ${\displaystyle M^{n}}$ muss auch wieder eine ${\displaystyle n}$-stellige innere Verknüpfung auf ${\displaystyle M}$ sein.

Beispiele

• Eine Untergruppe ist eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ${\displaystyle (G,+)}$, die abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung ${\displaystyle +}$ und der Inversenbildung ist.
• Ein Untervektorraum ist eine nichtleere Teilmenge eines Vektorraums ${\displaystyle V}$, die abgeschlossen ist bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation.
• Allgemein ist eine algebraische Unterstruktur eine (nichtleere) Teilmenge einer algebraischen Struktur, die abgeschlossen bezüglich sämtlichen Verknüpfungen dieser Struktur ist.

Die Wichtigkeit d​er Abgeschlossenheit bezüglich e​iner Verknüpfung lässt s​ich am besten verstehen, w​enn man Beispiele betrachtet, i​n denen s​ie verletzt ist.

• So ist ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ als Unterstruktur der Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,0,-)}$ nicht abgeschlossen, also keine Untergruppe. Diese Teilmenge ist zwar bezüglich der Addition abgeschlossen, nicht aber bezüglich der Inversenbildung: mit ${\displaystyle a\in \mathbb {N} }$ gehört ${\displaystyle -a}$ nicht ${\displaystyle \mathbb {N} }$ an.
• Der Durchschnitt zweier Untervektorräume eines Vektorraums ist stets selbst ein Untervektorraum, jedoch ist die Vereinigung zweier Untervektorräume nicht notwendig ein Untervektorraum. Die Vereinigung ist zwar abgeschlossen bzgl. der skalaren Multiplikation, aber nicht unbedingt bzgl. der Vektoraddition.

Verallgemeinerung

Analog dazu ist eine Teilmenge ${\displaystyle M}$ auch abgeschlossen gegenüber einer ${\displaystyle \infty }$-stelligen inneren Verknüpfung ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle A}$, wenn deren Bild in ${\displaystyle M}$ liegt.

Beispiel:

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ die Potenzmenge einer unendlichen Menge ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ die Menge aller abgeschlossenen Mengen bezüglich einer T₁-Topologie auf ${\displaystyle X}$, das heißt ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ enthält alle (unendlich viele) einelementigen Teilmengen von ${\displaystyle X}$, dann ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine abgeschlossene Menge bezüglich des mengentheoretischen Durchschnitts ${\displaystyle \bigcap }$ auf ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$.

Die Eigenschaft, dass eine Verknüpfung ${\displaystyle f}$ auf einer Menge ${\displaystyle A}$ stets eindeutig bestimmte Werte in ${\displaystyle A}$ liefert, bezeichnet man auch als Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung.

Siehe auch

• Algebraischer Abschluss
• Lokalisierung (Algebra)
• Transitive Hülle (Relation)

Weblinks

• Todd Rowland, Eric W. Weisstein: Set Closure. In: MathWorld (englisch).
• Chi Woo, Michael Slone: Closure of a subset under relations. In: PlanetMath. (englisch)