Cuntz-Algebra

In der Funktionalanalysis sind die sogenannten Cuntz-Algebren ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ (nach Joachim Cuntz) eine spezielle Klasse von C*-Algebren, die von n paarweise orthogonalen Isometrien auf einem separablen Hilbertraum erzeugt werden.

Definition

Sei ${\displaystyle H}$ ein separabler unendlichdimensionaler Hilbertraum. Für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\geq 2}$ seien ${\displaystyle S_{1},\dots ,S_{n}\in {\mathcal {L}}(H)}$ Isometrien auf H, d. h., es gilt ${\displaystyle S_{i}^{*}S_{i}=1}$ für ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$. Zudem sollen sie die Eigenschaft

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}S_{i}S_{i}^{*}=1}$

erfüllen, die Bildprojektoren sind also paarweise orthogonal. Für den Fall ${\displaystyle n=\infty }$ fordert man eine Folge von Isometrien ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots \quad }$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}S_{i}S_{i}^{*}\leq 1\quad }$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$

Man definiert nun

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}=C^{*}(S_{1},\dots ,S_{n})}$

als die von ${\displaystyle S_{1},\dots ,S_{n}}$ erzeugte C*-Unteralgebra in ${\displaystyle {\mathcal {L}}(H)}$. Um eine einheitliche Notation zu wahren, behält man diese Schreibweise auch im Fall ${\displaystyle n=\infty }$ bei.

Eigenschaften

Die Cuntz-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ hat eine Reihe von bemerkenswerten Eigenschaften, sie ist ein Beispiel für eine separable, unitale und einfache C*-Algebra.

Eindeutigkeit

Sind ${\displaystyle {\tilde {S}}_{1},\dots ,{\tilde {S}}_{n}\in {\mathcal {L}}(H)}$ weitere Isometrien mit ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tilde {S}}_{i}{\tilde {S}}_{i}^{*}=1}$, so folgt

${\displaystyle C^{*}(S_{1},\dots ,S_{n})\simeq C^{*}({\tilde {S}}_{1},\dots ,{\tilde {S}}_{n}).}$

Die Isomorphieklasse hängt also nicht von der Wahl der Erzeuger ab. Die Schreibweise ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$, die nicht auf die Erzeuger ${\displaystyle S_{1},\dots ,S_{n}}$ zurückgreift, wird damit gerechtfertigt.

Eine besondere Rolle bei der Untersuchung von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ spielt die C*-Unteralgebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{n}}$, die von Elementen der Form ${\displaystyle S_{i_{1}}S_{i_{2}}\dots S_{i_{k}}S_{j_{k}}^{*}S_{j_{k-1}}^{*}\dots S_{j_{1}}^{*}}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,1\leq i_{l},j_{l}\leq n}$ erzeugt wird. Man kann zeigen, dass diese zur UHF-Algebra zur übernatürlichen Zahl ${\displaystyle n^{\infty }}$ isomorph ist. Setzt man einen Erzeuger fest, zum Beispiel ${\displaystyle V=S_{1}}$ und schreibt ${\displaystyle V^{-1}=S_{1}^{*}}$, so existieren Abbildungen ${\displaystyle F_{i}:{\mathcal {O}}_{n}\to {\mathcal {F}}^{n}}$, sodass jedes ${\displaystyle A\in {\mathcal {O}}_{n}}$ dargestellt werden kann als

${\displaystyle A=\sum _{i=-\infty }^{-1}V^{i}F_{i}(A)+F_{0}(A)+\sum _{i=1}^{\infty }F_{i}(A)V^{i}}$.

Ein wichtiger Schritt im Beweis obiger Eindeutigkeitseigenschaft ist es, diese ${\displaystyle F_{i}(A)}$ analog zu Fourierkoeffizienten in einer Laurentreihe zu deuten. Dadurch ist es möglich zu zeigen, dass auf dem rein algebraischen Erzeugnis von ${\displaystyle S_{1},\dots ,S_{n},S_{1}^{*},\dots ,S_{n}^{*}}$ nur eine C*-Norm existieren kann, womit die Behauptung gezeigt ist.

Einfachheit

Eine C*-Algebra heißt einfach, falls sie keine nicht-trivialen abgeschlossenen zweiseitigen Ideale besitzt. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ ist sogar im algebraischen Sinne einfach.

Satz: Sei ${\displaystyle 0\neq X\in {\mathcal {O}}_{n}}$. Dann existieren ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {O}}_{n}}$ mit ${\displaystyle AXB=1}$.

Außerdem s​ind Cuntz-Algebren i​n folgendem Sinne m​it einfachen, unitalen, unendlichen C*-Algebren verwandt.

Satz: Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine einfache, unendliche, unitale C*-Algebra. Dann existiert eine C*-Unteralgebra von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, die isomorph zu ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\infty }}$ ist. Für endliche ${\displaystyle n\geq 2}$ existiert eine C*-Unteralgebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {A}}}$, die ein Ideal ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ enthält, sodass ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}\simeq {\mathcal {B}}/{\mathcal {J}}}$.

Klassifikation

Es sei ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}=C^{*}(S_{1},S_{2})}$ wie oben. Definiert man ${\displaystyle {\hat {S}}_{1}=S_{1}^{2},{\hat {S}}_{2}=S_{1}S_{2},{\hat {S}}_{3}=S_{2}}$, so sind ${\displaystyle {\hat {S}}_{1},{\hat {S}}_{2},{\hat {S}}_{3}}$ ebenfalls Isometrien mit ${\displaystyle {\hat {S}}_{1}{\hat {S}}_{1}^{*}+{\hat {S}}_{2}{\hat {S}}_{2}^{*}+{\hat {S}}_{3}{\hat {S}}_{3}^{*}=1}$ und es gilt offensichtlich ${\displaystyle C^{*}({\hat {S}}_{1},{\hat {S}}_{2},{\hat {S}}_{3})\subset C^{*}(S_{1},S_{2})}$.

Man erhält a​uf diese Weise d​ie Inklusionen

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\infty }\subset {\mathcal {O}}_{n}\subset {\mathcal {O}}_{2}}$.

Mit K-theoretischen Methoden zeigt man, dass ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$ nicht isomorph sind, falls ${\displaystyle n\neq m}$. Falls ${\displaystyle n}$ endlich ist, so berechnet sich die ${\displaystyle K_{0}}$-Gruppe von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ zu ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n-1}}$. Für den Fall ${\displaystyle n=\infty }$ ergibt sich ${\displaystyle K_{0}=\mathbb {Z} }$. Da die ${\displaystyle K_{0}}$-Gruppe eine Isomorphie-Invariante ist, folgt sofort die Behauptung.

Darstellung als Kreuzprodukt

Auf ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{n}}$ existiert ein *-Automorphismus ${\displaystyle \Phi }$, sodass ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}\simeq {\mathcal {F}}^{n}\rtimes _{\Phi }\mathbb {Z} }$. Da ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{n}}$ als eine UHF-Algebra nuklear ist, folgt aus dieser Darstellung als Kreuzprodukt, dass auch ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ nuklear ist.

Literatur

• Joachim Cuntz: Simple C*-algebras generated by isometries. (Pdf) In: Comm. Math. Phys. 57. 1977, S. 173–185, abgerufen am 17. April 2012 (englisch).
• K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1