Maximales Tensorprodukt

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das maximale Tensorprodukt von C*-Algebren eine Konstruktion, mit der man aus zwei C*-Algebren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ eine neue mit ${\displaystyle A\otimes _{\mathrm {max} }B}$ bezeichnete C*-Algebra erhält. Es handelt sich dabei um die Vervollständigung des mit einer geeigneten Norm versehenen algebraischen Tensorproduktes aus ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ . Die unten vorgestellte Konstruktion geht auf A. Guichardet zurück.[1]

Konstruktion

Es seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ zwei C*-Algebren. Eine C*-Halborm auf dem algebraischen Tensorprodukt ${\displaystyle A\odot B}$ ist eine Halbnorm ${\displaystyle \alpha }$ , so dass

• ${\displaystyle \alpha (st)\leq \alpha (s)\alpha (t)}$ für alle ${\displaystyle s,t\in A\odot B}$
• ${\displaystyle \alpha (s^{*}s)\,=\,\alpha (s)^{2}}$ für alle ${\displaystyle s\in A\odot B}$

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle \alpha (a\otimes b)\leq \|a\|\|b\|}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle b\in B}$ . Für ein Element ${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}\in A\odot B}$ folgt daher ${\displaystyle \alpha (s)\leq \sum _{i=1}^{n}\|a_{i}\|\|b_{i}\|}$ für jede C*-Halbnorm. Deshalb ist ${\displaystyle \mu (s):=\sup _{\alpha }\alpha (s)}$ , wobei ${\displaystyle \alpha }$ alle C*-Halbnormen durchläuft, endlich, und man bestätigt leicht, dass ${\displaystyle \mu }$ eine C*-Halbnorm ist, und nach Konstruktion die größte auf ${\displaystyle A\odot B}$ . Es handelt sich sogar um eine Norm, denn unter den C*-Halbnormen befindet sich die räumliche C*-Norm.

Die Vervollständigung von ${\displaystyle A\odot B}$ bezüglich dieser maximalen C*-Norm heißt das maximale Tensorprodukt aus ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ und wird mit ${\displaystyle A\otimes _{\mu }B}$ bezeichnet[2], andere Autoren schreiben dafür ${\displaystyle A\otimes _{\mathrm {max} }B}$ [3].

Eigenschaften

Das maximale Tensorprodukt h​at folgende nützliche Eigenschaft[4]:

Es seien ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ C*-Algebren und ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow C}$ sowie ${\displaystyle \psi :B\rightarrow C}$ zwei *-Homomorphismen mit vertauschenden Bildern, das heißt ${\displaystyle \varphi (a)\psi (b)=\psi (b)\varphi (a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle b\in B}$ . Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus ${\displaystyle \pi :A\otimes _{\mathrm {max} }B\rightarrow C}$ mit ${\displaystyle \pi (a\otimes b)=\varphi (a)\psi (b)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle b\in B}$ .

Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ C*-Algebren, so heißt ein Paar ${\displaystyle (\varphi ,\psi )}$ ein vertauschendes Paar von Darstellungen von ${\displaystyle (A,B)}$ , falls ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow L(H)}$ und ${\displaystyle \psi :B\rightarrow L(H)}$ Hilbertraum-Darstellungen auf demselben Hilbertraum ${\displaystyle H}$ sind und ${\displaystyle \varphi (a)\psi (b)=\psi (b)\varphi (a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle b\in B}$ gilt. Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Formel für die maximale C*-Norm aufstellen[5]:

Für zwei C*-Algebren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle s=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\otimes b_{j}}$ aus dem algebraischen Tensorprodukt ${\displaystyle A\odot B}$ gilt

${\displaystyle \mu (s)=\sup\{\|\sum _{j=1}^{n}\varphi (a_{j})\psi (b_{j})\|;\,(\varphi ,\psi ){\mbox{ vertauschendes Paar von Darstellungen von }}(A,B)\}.}$

Siehe auch

• Räumliches Tensorprodukt
• Nukleare C*-Algebra

Einzelnachweise

1. A. Guichardet: Tensor products of C*-algebras, Aarhus University Lecture Notes, Band 12 (1969)
2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, §11.3
3. Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Kapitel 6
4. Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Theorem 6.3.7
5. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 11.3.4

Literatur

• Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9
• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1