KK-Theorie

Die KK-Theorie i​st eine mathematische Theorie a​us dem Bereich d​er Funktionalanalysis. Der Name rührt daher, d​ass sie e​ine K-Theorie m​it zwei Variablen darstellt, d​ie die klassische K-Theorie für C*-Algebren u​nd die Theorie d​er Erweiterungen v​on C*-Algebren verallgemeinert. Die KK-Theorie g​eht auf G. G. Kasparow zurück.[1]

Konstruktionen

Die unten zu definierenden Gruppen ${\displaystyle KK(A,B)}$ der KK-Theorie werden von Äquivalenzklassen von Hilbert-C*-Moduln mit einer Zusatzstruktur gebildet und hängen von zwei C*-Algebren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ ab. Die C*-Algebren tragen eine ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-Graduierung und für einige zum Teil sehr technische Konstruktionen sollten alle C*-Algebren, die als erste Variable auftreten, separabel sein und alle C*-Algebren, die als zweite Variable auftreten, σ-unital, was der Einfachheit wegen im Folgenden stets vorausgesetzt sei. Für C*-Algebren ohne Graduierung kann man die triviale Graduierung, die durch die Identität als Graduierungsautomorphismus erzeugt wird, unterstellen; dann erhält man Aussagen für nicht-graduierte C*-Algebren.

Kasparow-Moduln

Ein Kasparow-A-B-Modul ist ein Tripel ${\displaystyle (E,\varphi ,F)}$ bestehend aus

• einem abzählbar erzeugten, graduierten Hilbert-${\displaystyle B}$-Rechtsmodul ${\displaystyle E}$,
• einem graduierten *-Homomorphismus ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow L_{B}(E)}$, wobei ${\displaystyle L_{B}(E)}$ die C*-Algebra der ${\displaystyle B}$-linearen Operatoren auf ${\displaystyle E}$ mit der von ${\displaystyle E}$ herrührenden Graduierung ist (siehe Hilbert-C*-Modul),
• einem Operator ${\displaystyle F\in L_{B}(E)}$ mit folgenden Eigenschaften
  • ${\displaystyle \partial F=1}$, das heißt ${\displaystyle F}$ ist homogen vom Grad 1,
  • ${\displaystyle [F,\varphi (a)]\in K_{B}(E)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$,
  • ${\displaystyle (F^{2}-1)\varphi (a)\in K_{B}(E)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$,
  • ${\displaystyle (F^{*}-F)\varphi (a)\in K_{B}(E)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ den graduierten Kommutator und ${\displaystyle K_{B}(E)}$ das zweiseitige Ideal der „kompakten“ Operatoren in ${\displaystyle L_{B}(E)}$. Der Buchstabe ${\displaystyle F}$ für den Operator soll an Fredholm-Operator erinnern. Beachte, dass ${\displaystyle E}$ durch ${\displaystyle \varphi }$ zu einem A-B-Bimodul wird.[2][3]

Betrachtet man die Elemente aus ${\displaystyle K_{B}(E)}$ als „klein“ gegenüber den allgemeineren aus ${\displaystyle L_{B}(E)}$, so wie man manchmal einen echten kompakten Operator als „kleine“ Störung eines Hilbertraum-Operators auffasst, so sagen die Bedingungen an ${\displaystyle F}$, dass die Größen ${\displaystyle [F,\varphi (a)],(F^{2}-1)\varphi (a),(F^{*}-F)\varphi (a)}$ „klein“ sein sollen. Sind diese Größen sogar 0, so nennt man den Kasparow-Modul degeneriert. Der triviale Modul ${\displaystyle (0,0,0)}$ ist ein degenerierter Kasparow-A-B-Modul; beachte, dass hierbei höchst unterschiedliche Objekte mit 0 bezeichnet sind.

Im Folgenden sei ${\displaystyle \mathrm {E} (A,B)}$ die Klasse der Kasparow-A-B-Moduln. Wir werden eine Addition und eine geeignete Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle \mathrm {E} (A,B)}$ definieren, die die Menge der Äquivalenzklassen zu einer Gruppe macht. Das werden die KK-Gruppen sein.

Direkte Summe

Die Addition in den KK-Gruppen wird mittels der direkten Summe definiert werden, daher beschreiben wir kurz die direkte Summe endlich vieler Kasparow-Moduln. Seien ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}=(E_{i},\varphi _{i},F_{i}),\,i=1,\ldots ,n}$ Kasparow-A-B-Moduln. Wir definieren die direkte Summe

${\displaystyle (E,\varphi ,F)={\mathcal {E}}_{1}\oplus \ldots \oplus {\mathcal {E}}_{n}}$

durch

${\displaystyle E=E_{1}\oplus \ldots \oplus E_{n}}$ mit Graduierung ${\displaystyle S_{E}(x_{1},\ldots ,x_{n})=(S_{E_{1}}(x_{1}),\ldots ,(S_{E_{n}}(x_{n}))}$, wobei ${\displaystyle S_{E_{i}}}$ die Graduierungen auf den ${\displaystyle E_{i}}$ seien.

${\displaystyle \varphi (a):={\begin{pmatrix}\varphi _{1}(a)&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\varphi _{n}(a)\end{pmatrix}}\in L_{B}(E_{1}\oplus \ldots \oplus E_{n})}$

${\displaystyle F:={\begin{pmatrix}F_{1}(a)&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &F_{n}(a)\end{pmatrix}}\in L_{B}(E_{1}\oplus \ldots \oplus E_{n})}$

Man überprüft, dass das Tripel ${\displaystyle (E,\varphi ,F)}$ wieder ein Kasparow-A-B-Modul ist, den man die direkte Summe der ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}}$ nennt.

Pushout

Zur angekündigten Definition der Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle \mathrm {E} (A,B)}$ benötigen wir die folgende als Pushout bezeichnete Konstruktion. Es sei ${\displaystyle {\mathcal {E}}=(E,\varphi ,F)}$ ein Kasparow-A-B-Modul und ${\displaystyle f:B\rightarrow C}$ ein surjektiver *-Homomorphismus. Dann kann man zeigen, dass es zu jedem Operator ${\displaystyle T\in L_{B}(E)}$ genau einen Operator ${\displaystyle T_{f}\in L_{C}(E_{f})}$ gibt mit ${\displaystyle T_{f}(q(x))=q(T(x))}$, wobei ${\displaystyle E_{f}}$ das Pushout des Hilbert-B-Moduls ${\displaystyle E}$ bezüglich ${\displaystyle f}$ ist und ${\displaystyle q:E\rightarrow E_{f}}$ die Quotientenabbildung. Dann definiert ${\displaystyle \varphi _{f}(a):=\varphi (a)_{f}}$ einen *-Homomorphismus ${\displaystyle \varphi _{f}:A\rightarrow L_{C}(E_{f})}$ und

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{f}:=(E_{f},\varphi _{f},F_{f})}$

ist ein Kasparow-A-C-Modul, den man das Pushout von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ bezüglich ${\displaystyle f}$ nennt.[4]

Äquivalenzrelationen

Ähnlich w​ie in d​er K-Theorie, i​n der d​ie direkte Summe e​ine Verknüpfung a​uf geeigneten Äquivalenzklassen definiert, werden w​ir hier vorgehen. Es i​st üblich, mehrere Äquivalenzrelationen z​u definieren, v​on denen d​ann gezeigt wird, d​ass sie u​nter geeigneten Abzählbarkeitsvoraussetzungen a​n die C*-Algebren, d​ie wir w​ie oben erwähnt generell voraussetzen, zusammenfallen. Wir werden u​ns hier n​ur einer dieser Äquivalenzrelationen, d​er sogenannten Homotopie-Relation, zuwenden u​nd erwähnen a​n dieser Stelle nur, d​ass man Teile d​er Theorie parallel für mehrere Äquivalenzrelationen entwickelt, u​m dann später Gleichheit zeigen z​u können. Da w​ir nur Ergebnisse darstellen wollen, werden w​ir diesen Weg h​ier nicht nachzeichnen.

Zur Definition der Homotopie-Relation benötigen wir zunächst die feinere unitäre Äquivalenz. Zwei Kasparow-A-B-Moduln ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}=(E_{0},\varphi _{0},F_{0})}$ und ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}=(E_{1},\varphi _{1},F_{1})}$ heißen unitär äquivalent, in Zeichen ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}\cong _{u}{\mathcal {E}}_{1}}$, wenn es einen Operator ${\displaystyle U\in L_{B}(E_{0},E_{1})}$ gibt, der eine unitäre Äquivalenz der graduierten Hilbert-C*-Moduln vermittelt, so dass

• ${\displaystyle \varphi _{0}(a)=U^{*}\varphi _{1}(a)U}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$
• ${\displaystyle F_{0}=U^{*}F_{1}U}$

Für eine graduierte C*-Algebra ${\displaystyle B}$ sei ${\displaystyle C([0,1],B)}$ die C*-Algebra der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall ${\displaystyle [0,1]}$ mit Werten in ${\displaystyle B}$. Diese ist mit der von ${\displaystyle B}$ induzierten Graduierung wieder eine graduierte C*-Algebra. Die Auswertungen ${\displaystyle f_{t}:C([0,1],B)\rightarrow B,f_{t}(a):=a(t),\,t\in [0,1]}$ sind surjektive *-Homomorphismen, mit denen daher Pushouts gebildet werden können. Man schreibt nun ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}\sim {\mathcal {E}}_{1}}$, falls es einen Kasparow-A-C([0,1],B)-Modul ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ mit ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}\cong _{u}{\mathcal {E}}_{f_{0}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}\cong _{u}{\mathcal {E}}_{f_{1}}}$.

Schließlich nennt man ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}}$ homotop, in Zeichen ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}\sim _{h}{\mathcal {E}}_{1}}$, falls es endlich viel Kasparow-A-B-Moduln ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {E}}}_{i},\,i=0,\ldots ,n}$ gibt mit

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}\sim {\tilde {\mathcal {E}}}_{0}\sim {\tilde {\mathcal {E}}}_{1}\sim \ldots \sim {\tilde {\mathcal {E}}}_{n}\sim {\mathcal {E}}_{1}}$.

Man zeigt, dass ${\displaystyle \sim _{h}}$ eine Äquivalenzrelation auf der Klasse ${\displaystyle \mathrm {E} (A,B)}$ der Kasparow-A-B-Moduln ist. Die Äquivalenzklasse eines Kasparow-Moduls ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ wird mit ${\displaystyle [{\mathcal {E}}]}$ bezeichnet.[5]

Die KK-Gruppen

Definition

Es seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ C*-Algebren. Dann sei

${\displaystyle KK(A,B):=\mathrm {E} (A,B)/\!\sim _{h}}$

die Menge der Äquivalenzklassen der Kasparow-A-B-Moduln. Da die abzählbar erzeugten Hilbert-B-Moduln nach dem Stabilisierungssatz von Kasparow bis auf unitäre Äquivalenz als Untermoduln von ${\displaystyle {\hat {H}}_{B}}$ aufgefasst werden können, liegt hier tatsächlich eine Menge vor. Man kann zeigen, dass die direkte Summe eine Addition

${\displaystyle [{\mathcal {E}}_{1}]+[{\mathcal {E}}_{2}]:=[{\mathcal {E}}_{1}\oplus {\mathcal {E}}_{2}]}$

definiert, die ${\displaystyle KK(A,B)}$ zu einer abelschen Gruppe macht.[6]

Das Nullelement i​st die Klasse d​er degenerierten Kasparow-Moduln. Wir beschreiben k​urz die Inversenbildung i​n dieser Gruppe. Es ist

${\displaystyle -[(E,\varphi ,F)]=[(E^{op},{\tilde {\varphi }},-F)]}$.

Dabei ist ${\displaystyle E^{op}}$ der Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul ${\displaystyle E}$ mit der entgegengesetzten Graduierung, das heißt die Moduln haben dieselben homogenen Elemente, lediglich die Grade dieser homogenen Elemente des einen sind gegenüber den Graden der homogenen Elemente des anderen um 1 modulo ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ verschoben. Weiter ist ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}(a^{(0)}+a^{(1)})=\varphi (a^{(0)}-a^{(1)})}$, wobei die ${\displaystyle a^{(i)}}$ homogene Elemente vom Grad ${\displaystyle i}$ aus ${\displaystyle A}$ seien.

Schließlich sei

${\displaystyle KK^{1}(A,B):=KK(A,B{\hat {\otimes }}\mathbb {C} _{1})}$.

Dabei ist ${\displaystyle B{\hat {\otimes }}\mathbb {C} _{1}}$ das graduierte Tensorprodukt aus ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle \mathbb {C} _{1}:=\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} }$, wobei diese zweidimensionale C*-Algebra die durch ${\displaystyle \alpha (z,w):=(w,z)}$ definierte Graduierung trage. Zum besseren Verständnis dieses Tensorproduktes sei ${\displaystyle \beta _{B}}$ der Graduierungsautomorphismus auf ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle \beta$ :\mathbb {Z} /2\rightarrow \mathrm {Aut} (B)} sei derjenige Homomorphismus, der 0 auf die Identität und 1 auf ${\displaystyle \beta _{B}}$ abbildet. Dann ist ${\displaystyle (B,\mathbb {Z} /2,\beta )}$ ein C*-dynamisches System und das graduierte Tensorprodukt ${\displaystyle B{\hat {\otimes }}\mathbb {C} _{1}}$ ist isomorph zum Kreuzprodukt ${\displaystyle B\ltimes _{\beta }\mathbb {Z} /2}$ dieses C*-dynamischen Systems.

Tensorprodukte mit C*-Algebren

Es seien ${\displaystyle (E,\varphi ,F)}$ ein Kasparaow-A-B-Modul ${\displaystyle D}$ eine weitere, separable, graduierte C*-Algebra. Dann ist ${\displaystyle D}$ ein graduierter Hilbert-D-Modul und man kann den Hilbert-B⊗D-Modul ${\displaystyle E\otimes D}$, das äußere, graduierte Tensorprodukt der beiden Hilbert-C*-Moduln, bilden. ${\displaystyle \varphi \otimes \mathrm {id} _{D}}$ ist dann ein *-Homomorphismus ${\displaystyle A\otimes D\rightarrow L_{B\otimes D}(E\otimes D)}$ und ${\displaystyle F\otimes \mathrm {id} _{D}}$ ein Operator, der ${\displaystyle (E\otimes D,\varphi \otimes \mathrm {id} _{D},F\otimes \mathrm {id} _{D})}$ zu einem Kasparow-A⊗D-B⊗D-Modul macht. Auf diese Weise erhalten wir einen Homomorphismus

${\displaystyle \tau _{D}:KK(A,B)\rightarrow KK(A\otimes D,B\otimes D),\quad [(E,\varphi ,F)]\mapsto [(E\otimes D,\varphi \otimes \mathrm {id} _{D},F\otimes \mathrm {id} _{D})]}$.

Bott-Periodizität

Man schreibt die Gruppe ${\displaystyle KK(A,B)}$ auch als ${\displaystyle KK^{0}(A,B)}$. Indem man die Bildung des graduierten Tensorproduktes mit ${\displaystyle \mathbb {C} _{1}}$ iteriert, könnte man auch höhere KK-Gruppen definieren:

${\displaystyle KK^{n+1}(A,B):=KK^{n}(A,B{\hat {\otimes }}\mathbb {C} _{1}),\quad n=0,1,2,\ldots }$

aber d​as erweist s​ich als unnötig, d​enn man k​ann zeigen, dass

${\displaystyle KK^{0}(A,B)\cong KK^{1}(A{\hat {\otimes }}\mathbb {C} _{1},B)\cong KK^{1}(A,B{\hat {\otimes }}\mathbb {C} _{1})\cong KK^{0}(A{\hat {\otimes }}\mathbb {C} _{1},B{\hat {\otimes }}\mathbb {C} _{1})}$.[7]

Dies nennt man die formale Bott-Periodizität, weil es sich ähnlich wie die Bott-Periodizität der K-Theorie verhält. Die formale Bott-Periodizität lässt sich im Wesentlichen auf die Beziehung ${\displaystyle \mathbb {C} _{1}{\hat {\otimes }}\mathbb {C} _{1}\cong M_{2}(\mathbb {C} )}$ zurückführen und ist damit wesentlich einfacher als die echte Bott-Periodizität, die Einhängungen verwendet. Aber auch diese echte Bott-Periodizität lässt sich in der KK-Theorie beweisen.

Ist ${\displaystyle A}$ eine C*-Algebra, so bezeichne ${\displaystyle SA}$ die Einhängung von ${\displaystyle A}$, das heißt die C*-Algebra aller stetigen Funktionen ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow A}$, die im Unendlichen verschwinden. Dann gilt[8]

• ${\displaystyle KK^{1}(A,B)\cong KK^{0}(A,SB)\cong KK(SA,B)}$,
• ${\displaystyle KK^{0}(A,B)\cong KK^{1}(A,SB)\cong KK^{1}(SA,B)}$

${\displaystyle \cong KK^{0}(SSA,B)\cong KK^{0}(A,SSB)\cong KK^{0}(SA,SB)}$.

Alternative Beschreibung von KK¹(A,B)

Wir definieren hier sogenannte KK¹-Zykel und zeigen, wie mittels einer geeigneten Äquivalenzrelation solche Zykel zu einer alternativen Beschreibung von ${\displaystyle KK^{1}(A,B)}$ für trivial graduierte C*-Algebren herangezogen werden können.

Ein KK¹-Zykel ist ein Paar ${\displaystyle (v,\lambda )}$ bestehend aus einem Element ${\displaystyle v\in M(B)}$ und einem *-Homomorphismus ${\displaystyle \lambda :A\rightarrow M(B)}$, so dass

${\displaystyle v\lambda (a)-\lambda (a)v,(v^{*}-v)\lambda (a),(v^{2}-v)\lambda (a)\in B}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$

Es sei ${\displaystyle E^{1}(A,B)}$ die Menge solcher KK¹-Zykel. Zwei KK¹-Zykel ${\displaystyle (v_{0},\lambda _{0})}$ und ${\displaystyle (v_{1},\lambda _{1})}$ heißen homomtop, falls es ${\displaystyle (v,\lambda )\in E^{1}(A,C([0,1],B))}$ gibt mit

${\displaystyle v_{0}={\overline {\pi }}_{0}(v),v_{1}={\overline {\pi }}_{1}(v),\lambda _{0}={\overline {\pi }}_{0}\circ \lambda ,\lambda _{1}={\overline {\pi }}_{1}\circ \lambda }$,

wobei ${\displaystyle \pi _{t}:C([0,1],B)\rightarrow B}$ die Auswertungsabbildung im Punkt ${\displaystyle t\in [0,1]}$ sei und ${\displaystyle {\overline {\pi _{t}}}}$ deren eindeutige strikt-stetige Fortsetzung auf die Multiplikatorenalgebren. Diese mit ${\displaystyle \sim _{h}}$ bezeichnete Relation ist eine Äquivalenzrelation, deren Äquivalenzklassen wir mit eckigen Klammern schreiben.

Auf ${\displaystyle E^{1}(A,B)/\!\sim _{h}}$ hat man die durch

${\displaystyle [(v_{1},\lambda _{1})]+[(v_{2},\lambda _{2})]:=[(\theta _{B}{\begin{pmatrix}v&0\\0&v\end{pmatrix}},\theta _{B}\circ {\begin{pmatrix}\lambda (\cdot )&0\\0&\lambda (\cdot )\end{pmatrix}})]}$

definierte Addition, wobei ${\displaystyle \theta _{B}}$ eine unitäre Isomorphie ${\displaystyle M_{2}(M(B))\cong M(B)}$ bezeichne.

Wir beschreiben nun einen Isomorphismus von ${\displaystyle E^{1}(A,B)/\!\sim _{h}}$ nach ${\displaystyle KK^{1}(A,B)}$. Dazu sei ${\displaystyle B_{1}=B\otimes \mathbb {C} _{1}\cong B\oplus B}$ und ${\displaystyle \varphi :M(B)\oplus M(B)\rightarrow M(B_{1})}$ der durch ${\displaystyle \varphi (m_{1},m_{2})(b_{1}\oplus b_{2}):=m_{1}b_{1}\oplus m_{2}b_{2}}$ definierte Isomorphismus. Für einen KK¹-Zykel ${\displaystyle (v,\lambda )\in E^{1}(A,B)}$ setze

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{v,\lambda }=(B_{1},\varphi \circ (\lambda \oplus \lambda ),\varphi ((2v-1)\oplus (1-2v)))}$.

Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{v,\lambda }\in KK(A,B_{1})=KK^{1}(A,B)}$ und

${\displaystyle E^{1}(A,B)/\!\sim _{h}\rightarrow KK^{1}(A,B),\quad (v,\lambda )\mapsto {\mathcal {E}}_{v,\lambda }}$

ist ein Isomorphismus.[9] Damit ist ${\displaystyle KK^{1}(A,B)}$ unabhängig von der formalen Bott-Periodizität beschrieben.

Beispiele

Homomorphismen

Ist ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ein graduierter *-Homomorphismus zwischen C*-Algebren, so ist ${\displaystyle (B,f,0)}$ ein Kasparow-A-B-Modul. Beachte dazu die oben vereinbarte Voraussetzung, dass ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma }$-unital ist; damit ist ${\displaystyle B}$ als Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul (mit trivialer Graduierung) tatsächlich abzählbar erzeugt. Die Äquivalenzklasse ${\displaystyle [(B,f,0)]\in KK(A,B)}$ wird oft nur mit ${\displaystyle [f]}$ bezeichnet. Die Elemente ${\displaystyle [\mathrm {id} _{A}]\in KK(A,A)}$ werden beim weiter unten zu besprechenden Kasparow-Produkt die Rolle von Identitäten einnehmen.

KK(ℂ,ℂ)

Es seien ${\displaystyle E={\hat {H}}_{\mathbb {C} }=\ell ^{2}\oplus \ell ^{2}}$ mit Graduierung ${\displaystyle S_{E}(\xi \oplus \eta ):=\xi \oplus -\eta }$ und ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {C} \rightarrow L_{\mathbb {C} }(E)} der *-Homomorphismus mit ${\displaystyle \varphi (1)=\mathrm {id} _{E}}$. Weiter sei ${\displaystyle \pi :L(\ell ^{2})\rightarrow L(\ell ^{2})/K(\ell ^{2})}$ die Quotientenabbildung in die Calkin-Algebra. Sei ${\displaystyle T\in L(\ell ^{2})}$ ein Operator, so dass ${\displaystyle \pi (T)}$ unitär ist. Dann ist

${\displaystyle [(E,\varphi ,{\begin{pmatrix}0&T^{*}\\T&0\end{pmatrix}})]\in KK(\mathbb {C} ,\mathbb {C} )}$.

Da ${\displaystyle \pi (T)}$ unitär ist, ist ${\displaystyle T}$ ein Fredholm-Operator, und man kann zeigen, dass

${\displaystyle KK(\mathbb {C} ,\mathbb {C} )\rightarrow \mathbb {Z} ,\quad [(E,\varphi ,{\begin{pmatrix}0&T^{*}\\T&0\end{pmatrix}})]\mapsto \mathrm {index} (T)}$

ein Gruppenisomorphismus ist, w​obei index d​en Fredholm-Index bezeichnet.

K-Gruppen

Wir zeigen hier, wie die K-Gruppen einer C*-Algebra ${\displaystyle B}$ (mit trivialer Graduierung) in der KK-Theorie wieder auftauchen.[10]

Es sei ${\displaystyle u\in Q^{s}(B):=M(B\otimes K)/(B\otimes K)}$ ein unitäres Element der äußeren Multiplikatorenalgebra der C*-Algebra ${\displaystyle B}$, das heißt aus dem Quotienten der Multiplikatorenalgebra des Tensorproduktes aus ${\displaystyle B}$ und der C*-Algebra ${\displaystyle K}$ der kompakten Operatoren über einem separablen Hilbertraum nach diesem Tensorprodukt. Sei ${\displaystyle T_{u}\in M^{s}(B):=M(B\otimes K)}$ eine Liftung von ${\displaystyle u}$, das heißt ${\displaystyle u=T_{u}+B\otimes K\in Q^{s}(B)}$. Dann ist

${\displaystyle [({\hat {H}}_{B},\varphi ,{\begin{pmatrix}0&T_{u}^{*}\\T_{u}&0\end{pmatrix}})]\in KK(\mathbb {C} ,B)}$.

Beachte dabei, dass ${\displaystyle L({\hat {H}}_{B})\cong L(H_{B}\oplus H_{B}))\cong M_{2}(L(H_{B}))\cong M_{2}(M^{s}(B))}$ und daher die dritte Komponente des angegebenen Elementes tatsächlich aus ${\displaystyle L_{B}({\hat {H}}_{B})}$ ist und offenbar den Grad 1 hat. ${\displaystyle \varphi }$ ist der *-Homomorphismus mit ${\displaystyle \varphi (1)=\mathrm {id} _{{\hat {H}}_{B}}}$. Dann kann man zeigen, dass die Zuordnung

${\displaystyle K_{1}(Q^{s}(B))\rightarrow KK(\mathbb {C} ,B),\quad [u]\mapsto [({\hat {H}}_{B},\varphi ,{\begin{pmatrix}0&T_{u}^{*}\\T_{u}&0\end{pmatrix}})]}$

ein Gruppenisomorphismus ist. Wie im Artikel über Multiplikatorenalgebren ausgeführt, hat man auch einen natürlichen Isomorphismus ${\displaystyle K_{0}(B)\cong K_{1}(Q^{s}(B))}$, so dass man insgesamt einen Isomorphismus ${\displaystyle K_{0}(B)\cong KK(\mathbb {C} ,B)}$ erhält.

Entweder durch ähnliche Überlegungen oder unter Verwendung der oben vorgestellten Bott-Periodizität kommt man auch zu einem Isomorphismus ${\displaystyle K_{1}(B)\cong KK^{1}(\mathbb {C} ,B)}$, so dass man insgesamt zu folgender leicht einprägsamer Formel gelangt:

${\displaystyle K_{i}(B)\cong KK^{i}(\mathbb {C} ,B),\,i=0,1}$.

Erweiterungen

Unter Verwendung der oben vorgestellten alternativen Beschreibung von ${\displaystyle KK^{1}(A,B)}$ mittels KK¹-Zykeln lässt sich ein Isomorphismus ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{-1}(A,B)\cong KK^{1}(A,B)}$ konstruieren, wobei ersteres die Gruppe der invertierbaren Elemente in Ext(A,B) bezeichne. Wie im Artikel über Erweiterungen von C*-Algebren ausgeführt, gehören zur Busby-Invariante ${\displaystyle \tau :A\rightarrow Q(B)}$ eines invertierbaren Elementes ein Homomorphismus ${\displaystyle \pi :A\rightarrow M(B)}$ und eine Projektion ${\displaystyle p\in M(B)}$ mit ${\displaystyle \tau (\cdot )=p\pi (\cdot )+B}$. Dann ist ${\displaystyle (p,\pi )}$ ein KK¹-Zykel und wir erhalten einen Gruppenisomorphismus

${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{-1}(A,B)\rightarrow KK^{1}(A,B),\quad [\tau ]\mapsto [{\mathcal {E}}_{p,\pi }]}$.[11]

Funktorialität

Die Zuordnung zweier C*-Algebren z​u ihrer KK-Gruppe k​ann zu e​inem Funktor ausgebaut werden, w​enn man jeweils e​ine C*-Algebra fixiert. Diese Funktoren erweisen s​ich sogar a​ls homotopieinvariant.[12]

Funktorialität in der ersten Komponente

Sind ${\displaystyle (E,\varphi ,F)}$ ein Kasparow-A-B-Modul und ${\displaystyle \psi :C\rightarrow A}$ ein graduierter *-Homomorphismus, so ist ${\displaystyle (E,\varphi \circ \psi ,F)}$ ein Kasparow-C-B-Modul und man erhält einen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \psi ^{*}:KK(A,B)\rightarrow KK(C,B),\quad [(E,\varphi ,F)]\mapsto [(E,\varphi \circ \psi ,F)]}$.

Dadurch wird ${\displaystyle KK(-,B)}$ bei festem ${\displaystyle B}$ zu einem kontravarianten Funktor von der Kategorie der separablen, graduierten C*-Algebren in die Kategorie der abelschen Gruppen. Betrachtet man auf jeder C*-Algebra die triviale Graduierung, so erhalten wir einen kontravarianten Funktor von der Kategorie der separablen C*-Algebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Dieser Funktor ist homotopieinvariant, das heißt sind ${\displaystyle \psi _{t}:A\rightarrow B}$ *-Homomorphismen für ${\displaystyle t\in [0,1]}$, so dass die Abbildungen ${\displaystyle t\mapsto \psi _{t}(a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ stetig sind, so ist ${\displaystyle {\psi _{0}}^{*}={\psi _{1}}^{*}}$.

Funktorialität in der zweiten Komponente

Sind ${\displaystyle (E,\varphi ,F)}$ ein Kasparow-A-B-Modul und ${\displaystyle \psi :B\rightarrow C}$ ein graduierter *-Homomorphismus, so bilde das innere Tensorprodukt ${\displaystyle E\otimes _{\varphi }B}$. Dieses ist ein Hilbert-${\displaystyle D}$-Modul und ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}(a):=\varphi (a)\otimes \mathrm {id} _{D}}$ ist ein *-Homomorphismus ${\displaystyle A\rightarrow L_{D}(E\otimes _{\varphi }B)}$. Durch diese Definition erhält man einen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \psi _{*}:KK(A,B)\rightarrow KK(A,D),\quad [(E,\varphi ,F)]\mapsto [(E\otimes _{\varphi }B,{\tilde {\varphi }},F\otimes \mathrm {id} _{D})]}$.

Dadurch wird ${\displaystyle KK(A,-)}$ bei festem ${\displaystyle A}$ zu einem kovarianten Funktor von der Kategorie der ${\displaystyle \sigma }$-unitalen, graduierten C*-Algebren in die Kategorie der abelschen Gruppen. Betrachtet man auf jeder C*-Algebra die triviale Graduierung, so erhalten wir einen kovarianten Funktor von der Kategorie der ${\displaystyle \sigma }$-unitalen C*-Algebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Dieser Funktor ist homotopieinvariant, das heißt sind ${\displaystyle \psi _{t}:A\rightarrow B}$ *-Homomorphismen für ${\displaystyle t\in [0,1]}$, so dass die Abbildungen ${\displaystyle t\mapsto \psi _{t}(a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ stetig sind, so ist ${\displaystyle {\psi _{0}}_{*}={\psi _{1}}_{*}}$.

Das Kasparow-Produkt

Konstruktion und Eigenschaften

Das Kasparow-Produkt i​st eine Abbildung

${\displaystyle KK(A,D)\times KK(D,B)\mapsto KK(A,B)}$

das i​n den Anwendungen e​in mächtiges Werkzeug darstellt. Sowohl d​ie Konstruktion, d​ie unten n​ur angedeutet werden kann, a​ls auch d​er Nachweis d​er unten aufgelisteten Eigenschaften erfordern e​inen hohen technischen Aufwand.[13]

Zur Konstruktion seien ${\displaystyle [(E_{1},\varphi _{1},F_{1})]\in KK(A,D)}$ und ${\displaystyle [(E_{2},\varphi _{2},F_{2})]\in KK(D,B)}$. Dann ist das graduierte, innere Tensorprodukt ${\displaystyle E_{1}\otimes _{\varphi _{2}}E_{2}}$ ein Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul und ${\displaystyle \varphi$ :=\varphi _{1}\otimes \mathrm {id} _{E_{2}}} ist ein *-Homomorphismus ${\displaystyle A\rightarrow L_{B}(E)}$. Mit hohem technischen Aufwand kann man einen geeigneten Operator ${\displaystyle F\in L_{B}(E)}$ konstruieren und so ein Element ${\displaystyle [(E,\varphi ,F)]\in KK(A,B)}$ definieren, das man das Kasparaow-Produkt der beiden Elemente aus ${\displaystyle KK(A,D)}$ und ${\displaystyle KK(D,B)}$ nennt, und das folgende Eigenschaften hat:[14]

${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$	für ${\displaystyle x\in KK(A,B),y\in KK(B,C),z\in KK(C,D)}$
${\displaystyle f^{*}(x\cdot y)=f^{*}(x)\cdot y}$	für ${\displaystyle x\in KK(A,B),y\in KK(B,C),f:{\tilde {A}}\rightarrow A}$ *-Homomorphismus
${\displaystyle f^{*}(x)\cdot y=x\cdot f^{*}(y)}$	für ${\displaystyle x\in KK(A,B),y\in KK(B,C),f:B\rightarrow {\tilde {B}}}$ *-Homomorphismus
${\displaystyle f_{*}(x\cdot y)=x\cdot f_{*}(y)}$	für ${\displaystyle x\in KK(A,B),y\in KK(B,C),f:C\rightarrow {\tilde {C}}}$ *-Homomorphismus
${\displaystyle [\mathrm {id} _{A}]\cdot x=x\cdot [\mathrm {id} _{B}]=x}$	für ${\displaystyle x\in KK(A,B)}$
${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$	für ${\displaystyle x\in KK(A,B),y,z\in KK(B,C)}$
${\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z}$	für ${\displaystyle x,y\in KK(A,B),z\in KK(B,C),}$
${\displaystyle [f]\cdot x=f^{*}(x)}$	für ${\displaystyle x\in KK(A,B),f:C\rightarrow A}$ *-Homomorphismus
${\displaystyle x\cdot [f]=f_{*}(x)}$	für ${\displaystyle x\in KK(A,B),f:B\rightarrow C}$ *-Homomorphismus.

Insbesondere ist ${\displaystyle KK(A,A)}$ für jede separable C*-Algebra ein Ring mit Einselement ${\displaystyle [\mathrm {id} _{A}]}$. Der oben vorgestellte Gruppenisomorphismus ${\displaystyle KK(\mathbb {C} ,\mathbb {C} )\cong \mathbb {Z} }$ erweist sich als Ringisomorphismus. Ist ${\displaystyle A}$ eine AF-C*-Algebra, so ist ${\displaystyle KK(A,A)}$ isomorph zum Endomorphismenring der Gruppe ${\displaystyle K_{0}(A)}$.

Erweitertes Kasparow-Produkt

Das Kasparow-Produkt k​ann wie f​olgt zu e​inem Produkt

${\displaystyle KK(A_{1},B_{1}\otimes D)\times KK(D\otimes A_{2},B_{2})\rightarrow KK(A_{1}\otimes A_{2},B_{1}\otimes B_{2})}$

verallgemeinert werden, wobei die auftretenden C*-Algebren die oben vereinbarten Abzählbarkeitsbedingungen erfüllen sollen und das Tensorprodukt stets das graduierte Tensorprodukt sei. Für ${\displaystyle x\in KK(A_{1},B_{1}\otimes D)}$ und ${\displaystyle y\in KK(D\otimes A_{2},B_{2})}$ sind

${\displaystyle \tau _{A_{2}}(x)\in KK(A_{1}\otimes A_{2},B_{1}\otimes D\otimes A_{2})}$ und

${\displaystyle \tau _{B_{1}}(y)\in KK(D\otimes A_{2}\otimes B_{1},B_{2}\otimes B_{1})\cong KK(B_{1}\otimes D\otimes A_{2},B_{1}\otimes B_{2})}$,

so dass man das Kasparow-Produkt ${\displaystyle \tau _{A_{2}}(x)\cdot \tau _{B_{1}}(y)}$, ein Element in ${\displaystyle KK(A_{1}\otimes A_{2},B_{1}\otimes B_{2})}$, bilden kann. Dieses Produkt bezeichnet man wieder mit ${\displaystyle x\cdot y}$ und bestätigt, dass es nicht in Konflikt zum bereits definierten Kasparow-Produkt steht, was im Wesentlichen daran liegt, dass ${\displaystyle \tau _{\mathbb {C} }}$ die Identität ist. Insgesamt erhalten wir so die angekündigte, bilineare Abbildung

${\displaystyle \cdot :KK(A_{1},B_{1}\otimes D)\times KK(D\otimes A_{2},B_{2})\rightarrow KK(A_{1}\otimes A_{2},B_{1}\otimes B_{2}),\quad (x,y)\mapsto x\cdot y}$.[15]

Für ${\displaystyle A_{2}=B_{1}=\mathbb {C} }$ erhält man das bereits bekannte Kasparow-Produkt zurück, denn das Tensorieren mit ${\displaystyle \mathbb {C} }$ führt zu isomorphen C*-Algebren und ${\displaystyle \tau _{\mathbb {C} }}$ ist die Identität. In diesem Sinne stellt obiges Produkt eine Verallgemeinerung des zuvor eingeführten Kasparow-Produkts dar.

Als wichtigen Spezialfall wollen wir das Tensorieren mit ${\displaystyle \mathbb {C} _{1}}$ behandeln, denn das führt nach obiger Definition zu KK¹-Gruppen. Ist speziell ${\displaystyle B_{1}=\mathbb {C} _{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}=\mathbb {C} }$, so kann man beim Auftreten des Tensorproduktes mit ${\displaystyle B_{1}}$ zur KK¹-Gruppe übergehen und das Tensorieren mit ${\displaystyle A_{2}}$ fortlassen. Aus obigem erhält man daher eine bilineare Abbildung

${\displaystyle KK^{1}(A_{1},D)\times KK(D,B_{2})\rightarrow KK^{1}(A_{1},B_{1})}$.

Man kann also Elemente aus ${\displaystyle KK(D,B_{2})}$ von links mit Elementen aus ${\displaystyle KK^{1}(A_{1},D)}$ multiplizieren und erhält ein Element aus ${\displaystyle KK^{1}(A_{1},B_{1})}$.

Indem man analog ${\displaystyle B_{1}=\mathbb {C} }$ und ${\displaystyle A_{2}=\mathbb {C} _{1}}$ beziehungsweise ${\displaystyle B_{1}=A_{2}=\mathbb {C} _{1}}$ setzt, erhält man bilineare Abbildungen

${\displaystyle KK(A_{1},D)\times KK^{1}(D,B_{2})\rightarrow KK^{1}(A_{1},B_{2})}$

und

${\displaystyle KK^{1}(A_{1},D)\times KK^{1}(D,B_{2})\rightarrow KK(A_{1},B_{2})}$,

wobei für d​ie letzte Abbildung n​och die formale Bott-Periodizität verwendet wurde.

Zyklische, 6-gliedrige, exakte Sequenzen

Die a​us der K-Theorie bekannten zyklischen, 6-gliedrigen, exakten Sequenzen können a​uch in d​er KK-Theorie bewiesen werden. Wir g​ehen von e​iner kurzen, exakten Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow J{\xrightarrow {\iota }}A{\xrightarrow {\sigma }}A/J\rightarrow 0}$

aus, die aus einem abgeschlossenen, zweiseitigen Ideal ${\displaystyle J\subset A}$ in einer C*-Algebra mit Einselement entsteht und von der wir voraussetzen wollen, dass sie semi-spaltend ist. Dann ist diese Sequenz eine invertierbare Erweiterung und bestimmt daher nach obigem ein Element ${\displaystyle e\in \mathrm {Ext} ^{-1}(A/J,J)\cong KK^{1}(A/J,J)}$. Die durch das Kasparow-Produkt definierte Multiplikation mit ${\displaystyle e}$ definiert für eine weitere C*-Algebra ${\displaystyle D}$ Homomorphismen

${\displaystyle KK(D,A/J)\rightarrow KK^{1}(D,J),\quad x\mapsto x\cdot e}$,

${\displaystyle KK^{1}(D,A/J)\rightarrow KK(D,J),\quad y\mapsto y\cdot e}$,

${\displaystyle KK(J,D)\rightarrow KK^{1}(A/J,D),\quad x\mapsto e\cdot x}$,

${\displaystyle KK^{1}(J,D)\rightarrow KK(A/J,D),\quad y\mapsto e\cdot y}$,

die sämtlich mit ${\displaystyle \delta }$ bezeichnet seien. Dann bestehen die folgenden zyklischen, exakten Sequenzen:[16]

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}KK(D,J)&{\xrightarrow {\iota _{*}}}&KK(D,A)&{\xrightarrow {\sigma _{*}}}&KK(D,A/J)\\\uparrow \delta &&&&\downarrow \delta \\KK^{1}(D,A/J)&{\xleftarrow {\sigma _{*}}}&KK^{1}(D,A)&{\xleftarrow {\iota _{*}}}&KK^{1}(D,J)\\\end{array}}}$

und

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}KK(J,D)&{\xleftarrow {\iota ^{*}}}&KK(A,D)&{\xleftarrow {\sigma ^{*}}}&KK(A/J,D)\\\downarrow \delta &&&&\uparrow \delta \\KK^{1}(A/J,D)&{\xrightarrow {\sigma ^{*}}}&KK^{1}(A,D)&{\xrightarrow {\iota ^{*}}}&KK^{1}(J,D)\\\end{array}}}$

Derartige Sequenzen s​ind bei d​er Berechnung v​on KK-Gruppen o​ft hilfreich, insbesondere w​enn ein o​der zwei Glieder e​iner solchen Sequenz 0 sind, d​enn dann können einige Abbildungen mittels Exaktheit a​ls injektiv, surjektiv o​der sogar a​ls bijektiv nachgewiesen werden.

Weblinks

• KK-theory (nLab)

Einzelnachweise

1. G. G. Kasparow: The operator K-functor and extensions of C*-algebras, Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat. (1980), Band 44, Seiten 571–636
2. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Definition 17.1.1
3. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Definition 2.1.1.
4. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Abschnitt 2.1.5.: Pushout
5. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Definition 2.1.9 + Lemma 2.1.12
6. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 17.3.3
7. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Korollar 17.8.9
8. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Korollar 19.2.2
9. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Satz 3.3.6
10. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 17.5.5
11. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Korollar 3.3.11
12. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, 17.8: Functoriality, 17.9: Homotopy Invariance
13. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Kapitel 2.2: The Kasparov-Product
14. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Sätze 18.4.4, 18.6.1, 18.7.1, 18.7.2
15. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 18.9.1
16. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 19.5.7