Adjunktion (Einselement)

Die Adjunktion e​ines Einselementes w​ird in d​er Mathematik angewendet, w​enn man e​inen Ring o​hne Einselement i​n einen Ring m​it Einselement einbetten will, z​um Beispiel u​m einen Satz anwenden z​u können, d​er nur für Ringe m​it Einselement gilt.

Ringe

Sei ${\displaystyle A}$ ein beliebiger Ring. Dann definiere man auf dem kartesischen Produkt ${\displaystyle A\times \mathbb {Z} }$ die Operationen

${\displaystyle (a,\lambda )+(b,\mu )\,=\,(a+b,\lambda +\mu )}$

${\displaystyle (a,\lambda )\cdot (b,\mu )\,=\,(ab+\lambda b+\mu a,\lambda \mu )}$,

wobei ${\displaystyle a,b\in A;\,\lambda ,\mu \in \mathbb {Z} }$. Man beachte, dass man Produkte wie ${\displaystyle \lambda b}$ mittels der naheliegenden ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul-Struktur bilden kann. Einfache Rechnungen zeigen, dass ${\displaystyle A_{1}:=A\times \mathbb {Z} }$ mit diesen Operationen ein Ring mit dem Einselement ${\displaystyle e:=(0,1)}$ ist. Identifiziert man ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle A\times \{0\}\subset A\times \mathbb {Z} ,}$ so kann man ein Element ${\displaystyle (a,\lambda )}$ als ${\displaystyle a+\lambda e}$ schreiben und ${\displaystyle A}$ als Unterring von ${\displaystyle A_{1}}$ auffassen. Obige Definitionen schreiben sich dann in der folgenden erwarteten Form:

${\displaystyle a+\lambda e\,+\,b+\mu e\,=\,a+b+(\lambda +\mu )e}$

${\displaystyle (a+\lambda e)\cdot (b+\mu e)\,=\,ab+\lambda b+\mu a+\lambda \mu e}$.

Damit kann jeder Ring in einen Ring mit Einselement eingebettet werden. Wenn ${\displaystyle A}$ bereits ein Einselement hatte, so erhält man in ${\displaystyle A_{1}}$ ein neues Einselement, das ursprüngliche Einselement von ${\displaystyle A}$ ist kein Einselement mehr in ${\displaystyle A_{1},}$ und die Charakteristik von ${\displaystyle A_{1}}$ ist 0, auch wenn ${\displaystyle A}$ positive Charakteristik hatte.

Bei obiger Konstruktion ist ${\displaystyle A}$ ein zweiseitiges Ideal in ${\displaystyle A_{1}}$ und es gilt ${\displaystyle A_{1}/A\cong \mathbb {Z} }$. Da ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ nullteilerfrei ist, ist ${\displaystyle A}$ sogar ein Primideal in ${\displaystyle A_{1}}$.

Algebren

Wenn ${\displaystyle A}$ nicht nur ein Ring, sondern sogar eine Algebra über einem Körper ${\displaystyle K}$ ist, so kann man obige Konstruktion so anpassen, dass der entstehende Ring wieder eine ${\displaystyle K}$-Algebra ist. Dazu hat man lediglich ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ durch ${\displaystyle K}$ zu ersetzen, das heißt man bildet dann ${\displaystyle A_{1}:=A\oplus K}$. Die ${\displaystyle K}$-Algebren-Struktur ist durch die Formel

${\displaystyle \mu \cdot (a+\lambda e):=\mu a+\mu \lambda e}$

gegeben. Wenn im Kontext von Algebren von der Adjunktion eines Einselementes die Rede ist, so ist in der Regel diese Konstruktion gemeint. Wieder ist ${\displaystyle A}$ ein zweiseitiges Ideal in ${\displaystyle A_{1}}$ und es gilt ${\displaystyle A_{1}/A\cong K}$. Da ${\displaystyle K}$ ein Körper ist, ist ${\displaystyle A}$ sogar ein maximales Ideal in ${\displaystyle A_{1}}$.

Normierte Algebren

Ist ${\displaystyle (A,\|\cdot \|)}$ eine normierte Algebra oder sogar eine Banachalgebra über ${\displaystyle \mathbb {K} }$, wobei ${\displaystyle \mathbb {K} }$ für ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ stehe, so kann man auch ${\displaystyle A_{1}}$ zu einer normierten ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Algebra machen, in dem man

${\displaystyle \|a+\lambda e\|:=\|a\|+|\lambda |}$

setzt. Das macht ${\displaystyle A_{1}}$ sicher zu einem normierten Raum, und die multiplikative Dreiecksungleichung von ${\displaystyle (A,\|\cdot \|)}$ überträgt sich auf ${\displaystyle (A_{1},\|\cdot \|)}$, denn

${\displaystyle \|(a+\lambda e)\cdot (b+\mu e)\|}$ = ${\displaystyle \|ab+\lambda b+\mu a+\lambda \mu e\|}$ := ${\displaystyle \|ab+\lambda b+\mu a\|+|\lambda \mu |\leq \|a\|\|b\|+|\lambda |\|b\|+|\mu |\|a\|+|\lambda ||\mu |}$ = ${\displaystyle (\|a\|+|\lambda |)(\|b\|+|\mu |)}$ = ${\displaystyle \|a+\lambda e\|\cdot \|b+\mu e\|}$.

Ist ${\displaystyle A}$ eine Banachalgebra, das heißt als normierter Raum vollständig, so ist auch ${\displaystyle A_{1}}$ eine Banachalgebra.

Ist ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Involution ${\displaystyle a\mapsto a^{*}}$, so kann man die Involution durch die Formel

${\displaystyle (a+\lambda e)^{*}:=a^{*}+{\overline {\lambda }}e}$

auf ${\displaystyle A_{1}}$ erweitern. Ist die Involution auf ${\displaystyle A}$ isometrisch, so gilt dasselbe auch für ${\displaystyle A_{1}}$.

C*-Algebren

Ist ${\displaystyle A}$ eine C*-Algebra ohne Einselement, so liefert obige Konstruktion keine C*-Algebra ${\displaystyle A_{1}}$. Man kann aber eine andere Norm auf ${\displaystyle A_{1}}$ wählen, die ${\displaystyle A_{1}}$ ebenfalls zu einer C*-Algebra macht. Dazu setzt man

${\displaystyle \|a+\lambda e\|:=\sup\{\|ab+\lambda b\|;\,b\in A,\|b\|\leq 1\}}$.

Dies ist gerade die Operatornorm der Linksmultiplikation ${\displaystyle L_{a+\lambda e}:A\rightarrow A,b\mapsto (a+\lambda e)b=ab+\lambda b}$.

Quellen

• Jacques Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations (Les grands classiques Gauthier-Villars). Éditions Gabay, Paris 1996, ISBN 2-87647-013-6 (unveränderter Nachdr. d. Ausg. Paris 1969)
• Louis H. Rowen: Ring Theory, Bd. 1 (Pure and applied mathematics; Bd. 127). Academic Press, Boston, Mass. 1988, ISBN 0-12-599841-4.