Räumliches Tensorprodukt

Das i​m mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis betrachtete räumliche Tensorprodukt bietet d​ie Möglichkeit, a​us C*-Algebren n​eue zu konstruieren. Im Allgemeinen g​ibt es mehrere Möglichkeiten, d​as algebraische Tensorprodukt zweier C*-Algebren z​u einer C*-Algebra z​u vervollständigen; d​ie hier behandelte C*-Norm a​uf dem Tensorprodukt erweist s​ich als minimal u​nter diesen Möglichkeiten, weshalb m​an auch v​om minimalen Tensorprodukt spricht. Die h​ier vorgestellte Konstruktion g​eht auf M. Takesaki zurück.[1]

Definitionen

Es seien und zwei C*-Algebren. Eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt ist eine Norm , so dass

  • ist eine normierte Algebra
  • für alle

Ist eine solche C*-Norm, so ist die mit bezeichnete Vervollständigung eine C*-Algebra. Ist eine C*-Norm, die sich für jedes Paar von C*-Algebren und definieren lässt, so spricht man von einem -Tensorprodukt.[2]

Man kann zeigen, dass C*-Normen automatisch die Kreuznormeigenschaft haben, das heißt, es gilt für alle .[3]

In diesem Artikel werden mit Hilfe von Hilberträumen, auf denen die C*-Algebren operieren, mit bezeichnete C*-Normen definiert, wobei das wegen der verwendeten Hilberträume an spatial (deutsch: räumlich) erinnern soll.

Konstruktion

Es seien und zwei C*-Algebren. Nach dem Satz von Gelfand-Neumark gibt es Hilberträume und und isometrische *-Homomorphismen und , das heißt wir können annehmen, dass die C*-Algebren Unteralgebren der vollen Operatorenalgebra über geeigneten Hilberträumen sind. Man kann zum Beispiel die universellen Darstellungen nehmen. Man bildet nun das Hilbertraum-Tensorprodukt und betrachtet ein Element des algebraischen Tensorproduktes als Operator auf , der durch

definiert ist, wobei Wohldefiniertheit zu zeigen ist. Dann ist klar, dass die Einschränkung der Operatornorm von auf eine C*-Norm ist.

Unabhängigkeit von den Hilberträumen

Obige Konstruktion hängt zunächst von der Wahl der Hilberträume ab. Hier wird eine Formel für die räumliche Norm aufgestellt, die von den Hilberträumen unabhängig ist. Sind und Zustände auf bzw. , so gibt es genau einen mit bezeichneten Zustand auf mit für alle und , den sogenannten Produktzustand aus und . Für ein Element des algebraischen Tensorproduktes gilt nun

wobei das Supremum über alle Zustände von , von und mit gebildet wird[4]. Diese Formel zeigt die Unabhängigkeit von der Wahl der Hilberträume, denn auf der rechten Seite finden sich nur Daten der abstrakten C*-Algebren und ihrem algebraischen Tensorprodukt.

Zur Bezeichnung: Im unten angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose wird an Stelle von geschrieben, Murphy verwendet die Schreibweise .

Eigenschaften

  • Sind und *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren, so gibt es genau einen mit bezeichneten *-Homomorphismus , so dass für alle . Sind beide und isometrisch oder *-Isomophismen, so hat dieselbe Eigenschaft.[5]
  • Ist eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt , so ist [6][7]. Aus diesem Grunde wird das räumliche Tensorprodukt auch das minimale Tensorprodukt genannt, und man findet bisweilen die Schreibweise .

Beispiele

Seien eine C*-Algebra und ein kompakter Hausdorffraum. sei die Menge aller stetigen Funktionen . Für , und definiere:

.

Damit wird zu einer C*-Algebra und man hat einen isometrischen Isomorphismus .[8]

Seien die C*-Algebra der komplexen -Matrizen und eine C*-Algebra, die auf einem Hilbertraum operiere. Weiter sei die Algebra der -Matrizen mit Einträgen aus ; diese operiert in üblicher Weise auf , das heißt

Dadurch trägt die Norm von und man zeigt, dass , wobei auf abgebildet wird.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. M. Takesaki: On the cross-norm of the direct product of C*-algebras, Tohoku Mathematical Journal, Band 10 (1958), Seiten 111–122
  2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, §11.3
  3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Lemma 11.3.3
  4. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.2 und §11.3.1
  5. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.3
  6. Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9, Theorem 6.4.18
  7. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Theorem 11.3.9
  8. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Beispiel 11.1.7

Literatur

  • Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9
  • R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1
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