Liminale C*-Algebra

Liminale C*-Algebren s​ind eine i​n der Mathematik betrachtete Klasse v​on C*-Algebren. Hierbei handelt e​s sich u​m die „Bausteine“, a​us denen d​ie postliminalen o​der Typ-I-C*-Algebren aufgebaut sind.

Die liminalen C*-Algebren werden v​on manchen Autoren a​uch CCR-Algebren (CCR s​teht für completely continuous representations, d​as heißt kompakte Darstellungen) genannt, u​nter diesem Namen wurden s​ie 1951 v​on Irving Kaplansky eingeführt. Es besteht jedoch d​ann ein Namenskonflikt z​u in d​er Quantenfeldtheorie betrachteten Algebren (CCR s​teht dort für canonical commutation relations, d​as heißt kanonische Vertauschungsrelationen). Wir schließen u​ns hier d​er auf Jacques Dixmier zurückgehenden Benennung a​n (frz.: liminaire, engl.: liminal).

Definition

Eine C*-Algebra heißt liminal, w​enn die Bilder irreduzibler Darstellungen a​us kompakten Operatoren bestehen.

Beispiele

• Duale C*-Algebren sind liminal.
• Kommutative C*-Algebren sind liminal, denn jede irreduzible Darstellung ist eindimensional. Die kommutative C*-Algebra ${\displaystyle C[0,1]}$ der stetigen Funktionen ${\displaystyle [0,1]\rightarrow \mathbb {C} }$ ist liminal, aber nicht dual.
• Ist ${\displaystyle X}$ lokalkompakt, so ist ${\displaystyle C_{0}(X,M_{n}(\mathbb {C} )):=\{a:X\rightarrow M_{n}(\mathbb {C} );\,a{\mbox{ ist stetig und }}\lim _{x\to \infty }\|a(x)\|=0\}}$ liminal, denn jede irreduzible Darstellung hat bis auf Äquivalenz die Form ${\displaystyle \pi _{x}(a):=a(x)\in M_{n}(\mathbb {C} )=L(\mathbb {C} ^{n})}$ für ein ${\displaystyle x\in X}$.
• Es sei ${\displaystyle H}$ ein unendlich-dimensionaler Hilbertraum. Dann ist ${\displaystyle A=L(H)}$ nicht liminal, denn ${\displaystyle {\mbox{id}}_{A}\colon A\rightarrow L(H)}$ ist irreduzibel und hat nicht-kompakte Operatoren im Bild.

Das größte liminale Ideal

Ist ${\displaystyle A}$ eine C*-Algebra, so ist

${\displaystyle I:=\{a\in A;\pi (a)\,{\mbox{ ist kompakt für jede irreduzible Darstellung von}}\,A\}}$

ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal, das liminal ist und jedes andere liminale Ideal enthält, kurz das größte liminale Ideal. Demnach ist eine C*-Algebra genau dann liminal, wenn sie mit ihrem größten liminalen Ideal zusammenfällt. Der Quotient ${\displaystyle A/I}$ kann durchaus wieder ein von ${\displaystyle \{0\}}$ verschiedenes liminales Ideal enthalten; diese Beobachtung führt zum wichtigen Begriff der postliminalen C*-Algebra.

Eigenschaften

• Jede Unter-C*-Algebra einer liminalen C*-Algebra ist wieder liminal.
• Ist ${\displaystyle A}$ eine liminale C*-Algebra und ${\displaystyle I\subset A}$ ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist ${\displaystyle A/I}$ wieder liminal.
• Ist ${\displaystyle A}$ eine liminale C*-Algebra und ${\displaystyle \pi \colon A\rightarrow L(H)}$ eine irreduzible Darstellung, so gilt ${\displaystyle \pi (A)=K(H)}$. Dabei ist ${\displaystyle K(H)}$ die Algebra der kompakten Operatoren auf ${\displaystyle H}$, die Definition verlangte nur die Inklusion ${\displaystyle \pi (A)\subset K(H)}$.

Antiliminale C*-Algebren

Eine C*-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt antiliminal, wenn das einzige liminale Ideal in ${\displaystyle A}$ das Nullideal ist, das heißt, wenn das größte liminale Ideal ${\displaystyle \{0\}}$ ist. Die Calkin-Algebra ist ein Beispiel für eine antiliminale C*-Algebra.

C*-Algebren mit stetiger Spur

Für eine C*-Algebra ${\displaystyle A}$ sei ${\displaystyle {\hat {A}}}$ das Spektrum von ${\displaystyle A}$, das heißt die Menge aller Äquivalenzklassen ${\displaystyle [\pi ]}$ irreduzibler Darstellungen ${\displaystyle \pi }$ von ${\displaystyle A}$ (siehe Hilbertraum-Darstellung). Ist ${\displaystyle [\pi ]\in {\hat {A}}}$ und ${\displaystyle a\in A}$ positiv, so ist ${\displaystyle \pi (a)}$ ein positiver kompakter Operator auf ${\displaystyle H}$ und man kann die Spur ${\displaystyle Sp(\pi (a))\in [0,\infty ]}$ bilden, wobei diese Zahl nicht von ${\displaystyle \pi }$ sondern nur von der Äquivalenzklasse ${\displaystyle [\pi ]}$ abhängt. Sei weiter

${\displaystyle P:=\{a\in A;\,a\geq 0,\,[\pi ]\mapsto Sp(\pi (a)){\mbox{ ist eine stetige Funktion }}\,{\hat {A}}\rightarrow [0,\infty )\}}$.

Dann ist die Menge aller ${\displaystyle a\in A}$, für die ${\displaystyle a^{*}a\in P}$ gilt, ein zweiseitiges Ideal in ${\displaystyle A}$. Wenn dieses Ideal dicht in ${\displaystyle A}$ liegt, so sagt man, ${\displaystyle A}$ sei eine C*-Algebra mit stetiger Spur. Es gilt folgender Satz.

• C*-Algebren mit stetiger Spur sind liminal, das Spektrum einer solchen C*-Algebra ist ein Hausdorffraum.

Die oben genannte C*-Algebra ${\displaystyle C([0,1],M_{n}(\mathbb {C} ))}$ ist ein Beispiel für eine C*-Algebra mit stetiger Spur. Die Unter-C*-Algebra ${\displaystyle \{a\in C([0,1],M_{n}(\mathbb {C} ));\,a(0){\mbox{ ist eine Diagonalmatrix}}\}}$ ist keine C*-Algebra mit stetiger Spur (für ${\displaystyle n\geq 2}$), aber als Unteralgebra liminal.

Quellen

• W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760
• J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969